Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime+y=2 sin x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) $ y’ + y = 2 \sin x $. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica útil para resolver EDOs lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. Ela está na forma padrão $ y’ + P(x)y = Q(x) $, onde $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = 2 \sin x $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna a equação mais fácil de resolver. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = 1 $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{x} $:
e^x
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser reescrita como a derivada de um produto.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto $ y e^{x} $:
y e^x
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a $ x $.

Passo 6

Integramos o lado esquerdo e o lado direito:
integral ddx ( y e^x ) dx = integral 2 e^x sin x , dx
Isso simplifica para:
y e^x = integral 2 e^x sin x , dx + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral $ \int 2 e^{x} \sin x , dx $. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que essa integral resulta em uma expressão envolvendo $ e^{x} $ multiplicado por funções trigonométricas. A solução dessa integral é:
integral 2 e^x sin x , dx

Passo 8

Substituímos a solução da integral de volta na equação:
y e^x = e^x (sin x - cos x) + C

Passo 9

Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’ + y = 2 \sin x $ é:
y' + y = 2 sin x
onde $ C $ é uma constante real.

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