Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) $ y’ + y = 2 \sin x $. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica útil para resolver EDOs lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. Ela está na forma padrão $ y’ + P(x)y = Q(x) $, onde $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = 2 \sin x $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna a equação mais fácil de resolver. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Substituindo $ P(x) = 1 $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{x} $:
Isso transforma a equação em uma forma que pode ser reescrita como a derivada de um produto.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto $ y e^{x} $:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a $ x $.
Passo 6
Integramos o lado esquerdo e o lado direito:
Isso simplifica para:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral $ \int 2 e^{x} \sin x , dx $. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que essa integral resulta em uma expressão envolvendo $ e^{x} $ multiplicado por funções trigonométricas. A solução dessa integral é:
Passo 8
Substituímos a solução da integral de volta na equação:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’ + y = 2 \sin x $ é:
onde $ C $ é uma constante real.