Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime+y=cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) $ y’ + y = \cos x $. Essa equação faz parte do estudo de primeira ordem, e vai precisar que a gente use o método do fator integrante para encontrar a solução geral. Basicamente, vamos manipular a equação para que ela fique mais fácil de resolver usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa EDO no formato padrão: $ y’ + P(x)y = Q(x) $. Aqui, $ P(x) = 1 $ e $ Q(x) = \cos x $. O próximo passo é calcular o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação.

Passo 3

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $. Como $ P(x) = 1 $, temos:
mu(x)
Esse fator será multiplicado em toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{x} $:
e^x
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{x} y $, graças ao fator integrante.

Passo 5

Reescrevemos o lado esquerdo como a derivada de $ e^{x} y $:
e^x y
Agora, para achar $ y $, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral ddx ( e^x y ) dx = integral e^x cos x , dx
O lado esquerdo simplifica para $ e^{x} y $, e precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 7

Para resolver $ \int e^{x} \cos x , dx $, usamos integração por partes ou reconhecemos que a integral resulta em:
integral e^x cos x , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à equação, temos:
e^x y = e^x2 (cos x + sin x) + C
Agora, basta isolar $ y $ dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:

Passo 9

Dividindo por $ e^{x} $:
e^x

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = 12 ( cos x + sin x ) + C e^-x

Exercícios relacionados