Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
sumn=1^+infty (n+2)^27^n(x-3)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^+infty (n+2)^27^n(x-3)^n
O que isso significa? A série de potências é uma soma infinita que envolve uma variável $ x $. O intervalo de convergência é o conjunto de valores de $ x $ para os quais essa série “fechou” e dá um número finito quando somada infinitamente. Para descobrir isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum an, se o limite:
L = limn to infty | an+1an |
existe, então:
  • Se $ L < 1 $, a série converge.
  • Se $ L > 1 $, a série diverge.
  • Se $ L = 1 $, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, cada termo $ a_n $ da série é:
L < 1
Vamos aplicar o Teste da Razão para essa série.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1an
Simplificando:
an+1an = (n+3)^27^n+1(x-3)^n+1(n+2)^27^n(x-3)^n = (n+3)^27^n+1 cdot 7^n(n+2)^2 cdot (x-3)^n+1 div (x-3)^n
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 4

Tomando o valor absoluto:
| an+1an | = | (n+3)^27 cdot (n+2)^2 cdot (x-3) | = (n+3)^27 cdot (n+2)^2 cdot |x-3|
Agora calculamos o limite quando $ n \to \infty $:
n to infty
Vamos simplificar a fração dentro do limite. Expandindo os termos:
L = limn to infty (n+3)^27 cdot (n+2)^2 cdot |x-3|
Quando $ n $ tende ao infinito, os termos com $ \frac{1}{n} $ e $ \frac{1}{n^2} $ vão a zero. Então:
(n+3)^2(n+2)^2 = n^2 + 6n + 9n^2 + 4n + 4 = n^2(1 + 6n + 9n^2)n^2(1 + 4n + 4n^2) = 1 + 6n + 9n^21 + 4n + 4n^2

Passo 5

Agora, aplicando o Teste da Razão, queremos que $ L < 1 $ para a série convergir:
L < 1
Isso significa:
|x-3|7 < 1
Para resolver essa desigualdade, lembramos que $ |x - a| < r $ significa que $ x $ está a menos de $ r $ unidades de $ a $. Portanto:
|x - 3| < 7
Adicionando 3 em todas as partes da desigualdade:
|x - a| < r

Passo 6

Então, o intervalo de convergência é:
-4 < x < 10
Mas, para termos certeza, precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, em $ x = -4 $ e $ x = 10 $.

Passo 7

Vamos verificar $ x = -4 $:
Substituindo na série:
x = -4
Essa série alternada não converge, pois os termos $ (n+2)^2 $ crescem sem limite. Portanto, a série diverge em $ x = -4 $.

Passo 8

Agora, vamos verificar $ x = 10 $:
Substituindo na série:
x = 10
Essa é uma série do tipo $ \sum n^2 $, que é conhecida por divergir. Portanto, a série também diverge em $ x = 10 $.

Resposta

O intervalo de convergência da série é $ -4 < x < 10 $.

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