Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
O que isso significa? A série de potências é uma soma infinita que envolve uma variável $ x $. O intervalo de convergência é o conjunto de valores de $ x $ para os quais essa série “fechou” e dá um número finito quando somada infinitamente. Para descobrir isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série
, se o limite:
existe, então:
- Se $ L < 1 $, a série converge.
- Se $ L > 1 $, a série diverge.
- Se $ L = 1 $, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, cada termo $ a_n $ da série é:
Vamos aplicar o Teste da Razão para essa série.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando:
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 4
Tomando o valor absoluto:
Agora calculamos o limite quando $ n \to \infty $:
Vamos simplificar a fração dentro do limite. Expandindo os termos:
Quando $ n $ tende ao infinito, os termos com $ \frac{1}{n} $ e $ \frac{1}{n^2} $ vão a zero. Então:
Passo 5
Agora, aplicando o Teste da Razão, queremos que $ L < 1 $ para a série convergir:
Isso significa:
Para resolver essa desigualdade, lembramos que $ |x - a| < r $ significa que $ x $ está a menos de $ r $ unidades de $ a $. Portanto:
Adicionando 3 em todas as partes da desigualdade:
Passo 6
Então, o intervalo de convergência é:
Mas, para termos certeza, precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, em $ x = -4 $ e $ x = 10 $.
Passo 7
Vamos verificar $ x = -4 $:
Substituindo na série:
Essa série alternada não converge, pois os termos $ (n+2)^2 $ crescem sem limite. Portanto, a série diverge em $ x = -4 $.
Passo 8
Agora, vamos verificar $ x = 10 $:
Substituindo na série:
Essa é uma série do tipo $ \sum n^2 $, que é conhecida por divergir. Portanto, a série também diverge em $ x = 10 $.
Resposta
O intervalo de convergência da série é $ -4 < x < 10 $.