encontre o raio de convergência da série.
1 sumn=1^infty(nn+1)^n^2 x^n

Passo 1

A série que temos é sumn=1^infty(nn+1)^n^2x^n. Isso é uma série de potências em x, e queremos o raio de convergência. Vamos usar o critério da raiz e a fórmula do raio para séries de potências.

Passo 2

Para séries de potências sum an x^n, o raio de convergência R satisfaz
R = 1limsupntoinfty|an|^1/n
Equivalente usar o teste da raiz: limsup de (|anx^n|)^1/n = L,|x|<1 R=1/L.

Passo 3

Aqui temos an = l(tfracnn+1r)^n^2. Então
|an|^1/n = l(nn+1r)^n^2/n = l(nn+1r)^n

Passo 4

Agora calculamos o limite
limntoinftyl(nn+1r)^n = limntoinftyl(1 - 1n+1r)^n = e^-1

Passo 5

Logo limsupntoinfty|an|^1/n = e^-1. Pelo raio de convergência:
R = 1e^-1 = e

Resposta

e

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