Verifique se a séric abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n cdot n+3n(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você enviou. A gente precisa verificar se a série sumn=1^+infty(-1)^n cdot n+3n(n+2) é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
  • Convergência absoluta: Uma série sum an é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge.
  • Convergência condicional: Se a série original sum an converge, mas a série dos valores absolutos sum |an| diverge, então ela é condicionalmente convergente.
No nosso caso, temos uma série alternada por causa do (-1)^n. Vamos primeiro analisar a série dos valores absolutos.

Passo 3

Vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^+infty | (-1)^n cdot n+3n(n+2) | = sumn=1^+infty n+3n(n+2)
Agora, para simplificar essa expressão, podemos usar frações parciais. Queremos escrever n+3n(n+2) de uma forma mais simples:
n+3n(n+2) = An + Bn+2
Multiplicando ambos os lados por n(n+2):
n + 3 = A(n+2) + Bn n + 3 = An + 2A + Bn n + 3 = (A + B)n + 2A
Comparando os coeficientes, temos:
A + B = 1 2A = 3
Resolvendo, encontramos A = 32 e B = -12. Portanto:
n+3n(n+2) = 32n - 12n+2

Passo 4

Agora, reescrevendo a série dos valores absolutos com essa decomposição:
sumn=1^+infty ( 32n - 12n+2 ) = 32 sumn=1^+infty 1n - 12 sumn=1^+infty 1n+2
Observamos que a série sumn=1^+infty 1n é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Como estamos multiplicando por constantes positivas e subtraindo uma série similar, a divergência da série harmônica faz com que a série dos valores absolutos também divirja.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos sumn=1^+infty n+3n(n+2) diverge, a série original pode ser condicionalmente convergente ou divergente. Para determinar isso, usamos o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que uma série sum (-1)^n an converge se:
  1. an > 0 para todo n.
  2. an é decrescente.
  3. limn to infty an = 0.
Vamos verificar esses pontos para an = n+3n(n+2):
  1. Positividade: Para todo n >= 1, an > 0.
  2. Decrescente: Podemos ver que, conforme n aumenta, o valor de an diminui.
  3. Limite: limn to infty n+3n(n+2) = limn to infty 1 + 3nn + 2 = 0.
Todos os critérios são atendidos, então a série converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

A série sumn=1^+infty(-1)^n cdot n+3n(n+2) é condicionalmente convergente.

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