Determine o intervalo de convergência
sum n!x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty n!,x^n.
Para isso vamos usar o teste da raiz, que nos dá o raio de convergência R em termos dos coeficientes an=n!.

Passo 2

Pelo teste da raiz, o raio de convergência R satisfaz
R = 1 limsupntoinfty raiz[n]|an|
onde aqui an = n!.

Passo 3

Precisamos calcular
limsupntoinfty raiz[n]n!
Usando a fórmula de Stirling n!simraiz2pi n,(n/e)^n, temos
raiz[n]n!sim ne,l(2pi nr)^1/(2n) longrightarrow infty quando ntoinfty

Passo 4

Como limsupntoinftyraiz[n]n!=infty, segue que
R = 1infty = 0
Isto significa que a série converge apenas para |x|<0, ou seja, apenas em x=0. Para qualquer xneq0 o termo geral n!x^n não tende a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é apenas o ponto x=0.

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