Qual o valor de f: Df R, onde Df=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 neq 1, dada por
f(x, y)=x^4-2 x^2 y^2+y^2(1-x^2-y^2)^3
nos pontos do círculo x^2+y^2=4 ?

Passo 1

O enunciado define
fcolon DftoR com
Df=(x,y)inR^2mid x^2+y^2neq1
e
f(x,y)=x^4-2x^2y^2+y^2l(1-x^2-y^2r)^3
Queremos o valor de f(x,y) quando (x,y) está no círculo
(x,y)mid x^2+y^2=4.

Passo 2

Num ponto do círculo, x^2+y^2=4. Logo
1 - x^2 - y^2 = 1 - 4 = -3
e o denominador de f torna-se
l(1 - x^2 - y^2r)^3 = (-3)^3 = -27

Passo 3

Substituindo no numerador e no denominador, em qualquer ponto do círculo, obtemos
f(x,y) = x^4 - 2x^2y^2 + y^2(-3)^3 = -x^4 - 2x^2y^2 + y^227

Resposta

f(x,y)=-x^4-2x^2y^2+y^227 para todo (x,y) com x^2+y^2=4

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