Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, onde a gente quer saber para quais valores de a soma da série dá um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série de potências, ou seja, uma soma que envolve elevado a alguma potência. Para determinar o intervalo de convergência, uma técnica comum é usar o teste da razão, que ajuda a verificar para quais valores de a série converge.
Passo 3
O teste da razão funciona assim: calculamos o limite do valor absoluto do termo seguinte dividido pelo termo atual quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge. Vamos aplicar isso na nossa série.
Passo 4
Vamos chamar o termo geral da série de . Agora, aplicamos o teste da razão:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do limite:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando vai para o infinito:
Passo 7
Como o limite é 0, que é menor que 1, pelo teste da razão, a série converge para qualquer valor real de .