Determine o intervalo de convergência.
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)! Resp. (-infty,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, onde a gente quer saber para quais valores de a soma da série dá um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série de potências, ou seja, uma soma que envolve elevado a alguma potência. Para determinar o intervalo de convergência, uma técnica comum é usar o teste da razão, que ajuda a verificar para quais valores de a série converge.

Passo 3

O teste da razão funciona assim: calculamos o limite do valor absoluto do termo seguinte dividido pelo termo atual quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge. Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 4

Vamos chamar o termo geral da série de limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^(n+1)+1 x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! cdot (2n-1)!(-1)^n+1 x^2n-1 | . Agora, aplicamos o teste da razão:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite:

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando limn to infty | x^2(2n)(2n+1) | = 0 vai para o infinito:

Passo 7

Como o limite é 0, que é menor que 1, pelo teste da razão, a série converge para qualquer valor real de .

Resposta

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