Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a transformada de Laplace. A gente precisa entender como aplicar a transformada para transformar as equações no domínio do tempo para o domínio de Laplace, resolver lá e depois voltar para o tempo real. Vamos precisar das propriedades da transformada de Laplace e das condições iniciais que foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
onde
é a transformada de
.
Passo 3
Aplicando isso na primeira equação
:
E para o lado direito:
Então temos:
Passo 4
Fazendo o mesmo para a segunda equação
:
E para o lado direito:
Então temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
nas equações transformadas:
Passo 6
Vamos reorganizar as equações para deixar tudo em termos de
e
:
Passo 7
Agora, vamos solucionar esse sistema de equações algébricas. Podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Multiplicando a primeira equação por 5 para facilitar:
E mantendo a segunda equação:
Passo 8
Somando as duas equações para eliminar
:
Simplificando:
Há um erro aqui. Na verdade, ao somar as equações multiplicadas e manter a consistência, vamos resolver de forma mais direta.
Passo 9
Vamos resolver o sistema:
Multiplicamos a equação (1) por 5:
Agora, somamos a equação (3) com a equação (2):
Simplificando:
Passo 10
Agora, isolemos
na equação (1):
Substituímos isso na equação (2):
Multiplicando todos os termos por
para eliminar o denominador:
Passo 11
Vamos reunir os termos com
:
Então:
Passo 12
Agora, voltamos para
:
Passo 13
Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
e
. Vamos decompor as frações para facilitar:
Para
:
Sabemos que:
Então:
Para
, podemos usar frações parciais:
Resolvendo para
,
, e
, encontramos:
Então:
Aplicando a transformada inversa:
Resposta
As soluções do sistema são: