Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDOs:
d xd t=x-2 y
d yd t=5 x-y
x(0)=-1, y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a transformada de Laplace. A gente precisa entender como aplicar a transformada para transformar as equações no domínio do tempo para o domínio de Laplace, resolver lá e depois voltar para o tempo real. Vamos precisar das propriedades da transformada de Laplace e das condições iniciais que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ld f(t)dt = s F(s) - f(0)
onde é a transformada de .

Passo 3

Aplicando isso na primeira equação Ldxdt = s X(s) - x(0) :
Lx - 2y = X(s) - 2 Y(s)
E para o lado direito:
s X(s) - x(0) = X(s) - 2 Y(s)
Então temos:

Passo 4

Fazendo o mesmo para a segunda equação Ldydt = s Y(s) - y(0) :
L5x - y = 5 X(s) - Y(s)
E para o lado direito:
s Y(s) - y(0) = 5 X(s) - Y(s)
Então temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir as condições iniciais s X(s) - (-1) = X(s) - 2 Y(s) Rightarrow s X(s) + 1 = X(s) - 2 Y(s) e s Y(s) - 2 = 5 X(s) - Y(s) Rightarrow s Y(s) - 2 = 5 X(s) - Y(s) nas equações transformadas:

Passo 6

Vamos reorganizar as equações para deixar tudo em termos de (s - 1) X(s) + 2 Y(s) = -1 e -5 X(s) + (s + 1) Y(s) = 2 :

Passo 7

Agora, vamos solucionar esse sistema de equações algébricas. Podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Multiplicando a primeira equação por 5 para facilitar:
5(s - 1) X(s) + 10 Y(s) = -5
E mantendo a segunda equação:
-5 X(s) + (s + 1) Y(s) = 2

Passo 8

Somando as duas equações para eliminar 5(s - 1) X(s) - 5 X(s) + 10 Y(s) + (s + 1) Y(s) = -5 + 2 :
[5(s - 1) - 5] X(s) + [10 + (s + 1)] Y(s) = -3
Simplificando:
5s - 5 - 5 X(s) + 10 Y(s) + s Y(s) + Y(s) = -3
(5s - 10) X(s) + (s + 11) Y(s) = -3
Há um erro aqui. Na verdade, ao somar as equações multiplicadas e manter a consistência, vamos resolver de forma mais direta.

Passo 9

Vamos resolver o sistema:
(s - 1) X(s) + 2 Y(s) = -1 (1)
-5 X(s) + (s + 1) Y(s) = 2 (2)
Multiplicamos a equação (1) por 5:
5(s - 1) X(s) + 10 Y(s) = -5 (3)
Agora, somamos a equação (3) com a equação (2):
5(s - 1) X(s) - 5 X(s) + 10 Y(s) + (s + 1) Y(s) = -5 + 2
[5s - 5 - 5] X(s) + [10 + s + 1] Y(s) = -3
Simplificando:
5s X(s) - 10 X(s) + (s + 11) Y(s) = -3

Passo 10

Agora, isolemos (s - 1) X(s) = -1 - 2 Y(s) na equação (1):
X(s) = -1 - 2 Y(s)s - 1
-5 ( -1 - 2 Y(s)s - 1 ) + (s + 1) Y(s) = 2
Substituímos isso na equação (2):
5 + 10 Y(s)s - 1 + (s + 1) Y(s) = 2
5 + 10 Y(s) + (s + 1)(s - 1) Y(s) = 2(s - 1)
Multiplicando todos os termos por 5 + 10 Y(s) + (s^2 - 1) Y(s) = 2s - 2 para eliminar o denominador:

Passo 11

Vamos reunir os termos com [10 + s^2 - 1] Y(s) = 2s - 2 - 5 :
(s^2 + 9) Y(s) = 2s - 7
Y(s) = 2s - 7s^2 + 9
Então:

Passo 12

Agora, voltamos para X(s) = -1 - 2 Y(s)s - 1 = -1 - 2 ( 2s - 7s^2 + 9 )s - 1 = - (s^2 + 9) - 2(2s - 7) (s - 1)(s^2 + 9) :
X(s) = -s^2 - 9 - 4s + 14 (s - 1)(s^2 + 9) = -s^2 - 4s + 5 (s - 1)(s^2 + 9)

Passo 13

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar Y(s) = 2ss^2 + 9 - 7s^2 + 9 e L^-1ss^2 + a^2 = cos(at) . Vamos decompor as frações para facilitar:
Para L^-1as^2 + a^2 = sin(at) :
y(t) = 2 cos(3t) - 73 sin(3t)
Sabemos que:
X(s) = As - 1 + Bs + Cs^2 + 9
A = -1, B = -1, C = -4
Então:
X(s) = -1s - 1 + -s - 4s^2 + 9
Para x(t) = -e^t - cos(3t) - 43 sin(3t) , podemos usar frações parciais:
Resolvendo para , , e , encontramos:
Então:
Aplicando a transformada inversa:

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = -e^t - cos(3t) - 43 sin(3t)
y(t) = 2 cos(3t) - 73 sin(3t)

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