Estime o número de fótons emitidos por segundo por uma lâmpada de 100 W assumindo comprimento de onda médio emitido de 500 nm . A qual distância da lâmpada o fluxo de fótons é de 100 fótons/segundo por
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Potência da lâmpada:
(ou seja, ). - Comprimento de onda médio emitido:
(nanômetros).
- Potência da lâmpada:
-
O enunciado pede duas coisas:
- Estimar o número de fótons emitidos por segundo pela lâmpada (ou seja,
em fótons/s). - Determinar a que distância
da lâmpada o fluxo de fótons é de fótons/s por .
- Estimar o número de fótons emitidos por segundo pela lâmpada (ou seja,
Observação útil que vou usar: assumir que a lâmpada emite a luz de forma isotrópica (mesma intensidade em todas as direções). Isso permite usar a área da esfera
para relacionar número total de fótons por segundo com o fluxo por unidade de área.
Passo 2
Calcular a energia de um fóton com comprimento de onda
. A fórmula básica da física quântica para a energia de um fóton é:
onde:
-
é a energia de um fóton (em joules, ); -
é a constante de Planck, ; -
é a velocidade da luz no vácuo, ; -
é o comprimento de onda em metros.
Converter
para metros:
Agora calcular
substituindo os valores:
Calcule o numerador e depois a divisão:
Arredondando para duas casas significativas úteis:
Explicação rápida (didática): cada fóton transporta uma “quantidade” fixa de energia dada por
. Comprimentos de onda menores (luz mais azul) têm fótons de maior energia; comprimentos maiores (vermelho/infravermelho) têm fótons de menor energia.
Passo 3
Calcular o número de fótons emitidos por segundo
. Se a lâmpada fornece
joules por segundo e cada fóton tem energia
, então:
Substituindo:
Fazendo a divisão:
Arredondando para dois algarismos significativos:
Comentário didático: isso mostra que mesmo uma lâmpada “simples” de
emite uma quantidade enorme de fótons por segundo, porque a energia de cada fóton é extremamente pequena em joules.
Passo 4
Tratar a unidade do fluxo pedido e convertê-la para o SI. O enunciado quer o ponto onde o fluxo é
fótons/s por
.
Converter para fótons/s por :
Converter para fótons/s por
Denotar esse fluxo desejado por
:
Didática rápida: é importante sempre trabalhar em unidades consistentes (aqui o SI), porque a fórmula geométrica usa metros na área da esfera.
Passo 5
Relacionar fluxo com distância para emissão isotrópica. Se a fonte emite
fótons por segundo isotropicamente, então o número de fótons por segundo que atravessa uma superfície esférica de raio
é
. A densidade por unidade de área nessa esfera (fluxo) é:
Para encontrar a distância onde
(valor pedido), isolar
:
Explicação didática: a intensidade diminui como
porque a mesma quantidade de fótons se espalha sobre uma área que cresce com
(área de esfera é
).
Passo 6
Calcular numericamente
usando
e
.
Primeiro calcular o argumento do radical:
Fazer passo a passo:
Agora a raiz:
Converter para quilômetros para intuição:
Comentário final (didático e motivador): o valor é grande (~4,5 mil quilômetros) — isso pode assustar, mas faz sentido: para reduzir a densidade de fótons a apenas
fótons por
por segundo a partir de uma fonte que emite
fótons/s é necessário espalhar esses fótons sobre uma área gigantesca, o que exige uma distância muito grande. Bom trabalho por chegar até aqui — perguntas sobre os passos são bem-vindas se quiser revisar qualquer conta.