Estime o número de fótons emitidos por segundo por uma lâmpada de 100 W assumindo comprimento de onda médio emitido de 500 nm . A qual distância da lâmpada o fluxo de fótons é de 100 fótons/segundo por \mathrm{cm}^{2} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Potência da lâmpada: P=100\\ \mathrm{W} (ou seja, 100\\ \mathrm{J/s}).
    • Comprimento de onda médio emitido: \lambda=500\\ \mathrm{nm} (nanômetros).
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Estimar o número de fótons emitidos por segundo pela lâmpada (ou seja, N em fótons/s).
    2. Determinar a que distância r da lâmpada o fluxo de fótons é de 100 fótons/s por \mathrm{cm}^{2}.
Observação útil que vou usar: assumir que a lâmpada emite a luz de forma isotrópica (mesma intensidade em todas as direções). Isso permite usar a área da esfera \,4\pi r^{2}\, para relacionar número total de fótons por segundo com o fluxo por unidade de área.

Passo 2

Calcular a energia de um fóton com comprimento de onda \lambda. A fórmula básica da física quântica para a energia de um fóton é:
E=\frac{hc}{\lambda}
onde:
  • E é a energia de um fóton (em joules, \mathrm{J});
  • h é a constante de Planck, h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s};
  • c é a velocidade da luz no vácuo, c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s};
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.
Converter \lambda para metros:
\lambda=500\\ \mathrm{nm}=500\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=5{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora calcular E substituindo os valores:
E=\frac{(6{,}626\times10^{-34})(3{,}00\times10^{8})}{5{,}00\times10^{-7}}.
Calcule o numerador e depois a divisão:
\text{numerador}=6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}=1{,}9878\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m},
E=\frac{1{,}9878\times10^{-25}}{5{,}00\times10^{-7}}=3{,}9756\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas significativas úteis:
E\approx3{,}98\times10^{-19}\\ \mathrm{J\\ per\\ fóton}.ó
Explicação rápida (didática): cada fóton transporta uma “quantidade” fixa de energia dada por hc/\lambda. Comprimentos de onda menores (luz mais azul) têm fótons de maior energia; comprimentos maiores (vermelho/infravermelho) têm fótons de menor energia.

Passo 3

Calcular o número de fótons emitidos por segundo N. Se a lâmpada fornece P joules por segundo e cada fóton tem energia E, então:
N=\frac{P}{E}.
Substituindo:
N=\frac{100\\ \mathrm{J/s}}{3{,}9756\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}.
Fazendo a divisão:
N\approx2{,}516\times10^{20}\\ \text{fótons/s}.ó
Arredondando para dois algarismos significativos:
N\approx2{,}52\times10^{20}\\ \text{fótons/s}.ó
Comentário didático: isso mostra que mesmo uma lâmpada “simples” de 100\\ \mathrm{W} emite uma quantidade enorme de fótons por segundo, porque a energia de cada fóton é extremamente pequena em joules.

Passo 4

Tratar a unidade do fluxo pedido e convertê-la para o SI. O enunciado quer o ponto onde o fluxo é 100 fótons/s por \mathrm{cm}^{2}.
Converter para fótons/s por \mathrm{m}^{2}:
1\\ \mathrm{cm}^{2}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}\quad\Rightarrow\quad 100\\ \frac{\text{fótons}}{\mathrm{s\\ cm}^{2}}=\frac{100}{10^{-4}}\\ \frac{\text{fótons}}{\mathrm{s\\ m}^{2}}=1{,}0\times10^{6}\\ \frac{\text{fótons}}{\mathrm{s\\ m}^{2}}.óóó
Denotar esse fluxo desejado por \Phi:
\Phi=1{,}0\times10^{6}\\ \frac{\text{fótons}}{\mathrm{s\\ m}^{2}}.ó
Didática rápida: é importante sempre trabalhar em unidades consistentes (aqui o SI), porque a fórmula geométrica usa metros na área da esfera.

Passo 5

Relacionar fluxo com distância para emissão isotrópica. Se a fonte emite N fótons por segundo isotropicamente, então o número de fótons por segundo que atravessa uma superfície esférica de raio r é N. A densidade por unidade de área nessa esfera (fluxo) é:
\Phi(r)=\frac{N}{4\pi r^{2}}.
Para encontrar a distância onde \Phi(r)=\Phi (valor pedido), isolar r:
r=\sqrt{\frac{N}{4\pi\Phi}}.
Explicação didática: a intensidade diminui como 1/r^{2} porque a mesma quantidade de fótons se espalha sobre uma área que cresce com r^{2} (área de esfera é 4\pi r^{2}).

Passo 6

Calcular numericamente r usando N\approx2{,}516\times10^{20}\\ \text{fótons/s}ó e \Phi=1{,}0\times10^{6}\\ \text{fótons/s/m}^{2}ó.
Primeiro calcular o argumento do radical:
r^{2}=\frac{N}{4\pi\Phi}=\frac{2{,}516\times10^{20}}{4\pi\times1{,}0\times10^{6}}.
Fazer passo a passo:
\frac{2{,}516\times10^{20}}{1{,}0\times10^{6}}=2{,}516\times10^{14},
r^{2}=\frac{2{,}516\times10^{14}}{4\pi}=\frac{2{,}516\times10^{14}}{12{,}5663706\ldots}\approx2{,}002\times10^{13}\\ \mathrm{m}^{2}.
Agora a raiz:
r=\sqrt{2{,}002\times10^{13}}\approx4{,}48\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Converter para quilômetros para intuição:
r\approx4{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{km}=4{,}48\\ \text{mil km (aprox.)}.
Comentário final (didático e motivador): o valor é grande (~4,5 mil quilômetros) — isso pode assustar, mas faz sentido: para reduzir a densidade de fótons a apenas 100 fótons por \mathrm{cm}^{2} por segundo a partir de uma fonte que emite \sim10^{20} fótons/s é necessário espalhar esses fótons sobre uma área gigantesca, o que exige uma distância muito grande. Bom trabalho por chegar até aqui — perguntas sobre os passos são bem-vindas se quiser revisar qualquer conta.

Resposta

2{,}52\times10^{20}\\ \text{fótons/s}ó
4{,}48\times10^{6}\\ \mathrm{m}

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