Para a função
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & \text { se } x \neq 2 \\\ k, & \text { se } x=2\end{cases}
(a) Calcule \lim _{x \rightarrow 2} f(x).
(b) Determine o valor de k que torna f(x) contínua em x=2.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & \text{se } x\neq 2,\\[4pt] k, & \text{se } x=2,\end{cases}
e pede duas coisas:
(a) Calcular \lim_{x\to 2} f(x).
(b) Determinar o valor de k que torna f contínua em x=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão usada para x\neq 2 é \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • O valor da função em x=2 é um número k que devemos escolher para continuidade.
  • Não há outras restrições; o limite pedido é no ponto x=2.]

Passo 2

Entendendo o que significa calcular \lim_{x\to 2} f(x) aqui:
  • O limite quando x se aproxima de 2 depende dos valores de f(x) para x próximos de 2, mas com x\neq 2. Ou seja, só importa a forma \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • Plano: simplificar a expressão algébrica para x\neq 2 (se possível), obter uma forma contínua que coincida com f(x) perto de 2, e então avaliar por substituição. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Simplificar a expressão \dfrac{x^{2}-4}{x-2} por fatoração:
  • Observe que x^{2}-4 é uma diferença de quadrados, que se fatoriza como (x-2)(x+2).
  • Então temos a identidade (válida para todos os x):
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
  • Como estamos considerando x\neq 2, podemos cancelar o fator (x-2) no numerador e denominador. Depois do cancelamento (lembrando que isso não define o valor em x=2, apenas descreve a expressão para x\neq 2) obtemos
\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\qquad\text{para }x\neq 2.
Explicação didática: cancelar só é permitido porque estamos explicitamente excluindo o ponto x=2. O limite olha para valores próximos de 2, não para o valor em 2; por isso essa simplificação é válida para calcular o limite.

Passo 4

Calcular o limite usando a expressão simplificada:
  • Como para x próximo de 2 (com x\neq 2) temos f(x)=x+2, e a função x+2 é um polinômio (logo contínua), podemos avaliar o limite por substituição direta:
\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2} (x+2)=2+2=4.
  • Justificativa: polinômios são contínuos em todo ponto, então \lim_{x\to 2} (x+2)=(2)+2.

Passo 5

O que significa tornar f contínua em x=2?
  • Definição prática: f é contínua em x=2 se e somente se os três itens abaixo ocorrerem:
    1. f(2) está definido. (Aqui f(2)=k, então já está definido.)
    2. \lim_{x\to 2} f(x) existe. (Acabamos de calcular e o limite é 4.)
    3. \lim_{x\to 2} f(x)=f(2).
  • Para que a igualdade do item 3 valha, precisamos escolher k igual ao valor do limite. Assim
k=\lim_{x\to 2} f(x)=4.

Passo 6

Verificação final e comentário intuitivo:
  • Se escolhermos k=4, então a função fica com o valor 4 em x=2 e com x+2 para x\neq 2. Como x+2 se aproxima de 4 quando x\to 2, não há salto ou buraco: a descontinuidade removível é “consertada”.
  • Se escolhêssemos qualquer outro k\neq 4, permaneceria uma descontinuidade do tipo “buraco preenchido de forma diferente”: o limite existiria (é 4), mas o valor da função em 2 seria diferente, logo não haveria continuidade.

Resposta

(a) \lim_{x\to 2} f(x)=4
(b) k=4

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