Determine o intervalo no qual a função
dada por
admite função inversa.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo em que a função f(x)=2 sen
+1, cujo contradomínio é [−1,3], é invertível, ou seja, estritamente monotônica, para a gente poder definir f⁻¹.
Passo 2
Para garantir invertibilidade, vamos exigir que f seja estritamente crescente (poderíamos também escolher decrescente, mas o ramo crescente é o mais comum). Isso significa f’(x)≥0. Vamos calcular a derivada:
$$f’(x)=2\cdot\cos\Bigl(\frac{3x-\pi}{4}\Bigr)\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\cos\Bigl(\frac{3x-\pi}{4}\Bigr).
$$
Logo, f’(x)≥0 ⟺ cos((3x-π)/4)≥0.
Logo, f’(x)≥0 ⟺ cos((3x-π)/4)≥0.
Passo 3
Sabemos que cos(θ)≥0 quando θ ∈ [−π/2+2kπ,π/2+2kπ] para algum inteiro k. Para obter o ramo principal (k=0), impomos
Passo 4
Resolvendo as desigualdades:
Multiplicando tudo por 4:
Multiplicando tudo por 4:
Somando π:
Dividindo por 3:
Passo 5
Concluímos que em x ∈ [−π/3,π] a derivada f’(x) é não negativa e, de fato, positiva exceto nos extremos, o que garante que f é estritamente crescente. Além disso, f(−π/3)=−1 e f(π)=3, cobrindo exatamente o contradomínio. Logo, f admite inversa neste intervalo.
Resposta
\left[-\frac{\pi}{3},\pi\right]