Determine o intervalo em que a função f(x)=raizlog 2(log 12 x) está definida.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função f(x)=raizlog2l(log1/2xr). Vamos usar conhecimentos de domínio de raízes (argumento >=0) e de logaritmos (argumento positivo).

Passo 2

Para existir log1/2x e depois log2(dots), precisamos de:
  1. x>0 (argumento de log1/2x positivo)
  2. log1/2x>0 (argumento de log2 positivo)
Da segunda condição, como a base tfrac12<1, a desigualdade inverte-se e dá:
log1/2x>0implies x<1
Logo, até aqui temos 0.

Passo 3

Para a raiz quadrada raizcdot estar definida, é preciso:
log2l(log1/2xr)>=0
Isso implica
log1/2x>=1
De novo, como log1/2x usa base <1, inverte-se a desigualdade ao resolver em x:
log1/2x>=1implies x<=l(tfrac12r)^1=tfrac12

Passo 4

Juntando todas as restrições:
  • x>0
  • x<1
  • x<=tfrac12
O intervalo que satisfaz tudo é
0

Resposta

O domínio de definição é (0,tfrac12].

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