Resolva o seguinte sistema 8^x cdot 4^y & =14 4^x cdot 2^-y & =2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema exponencial
8^xcdot4^y=tfrac144^xcdot2^-y=2
Aqui o conteúdo é propriedades de potências e mudança de base (tudo em base 2).

Passo 2

Reescrevendo todas as bases em potências de 2:
8=2^{3} e 4=2^{2}. Então
8^xcdot4^y=(2^3)^xcdot(2^2)^y=2^3x+2y
E como 1/4=2^-2, temos
2^3x+2y=2^-2implies3x+2y=-2
Do outro lado:
4^xcdot2^-y=(2^2)^xcdot2^-y=2^2x-y
E isso deve dar 2, ou seja 2^2x-y=2^1, logo
2x-y=1

Passo 3

Agora temos o sistema linear simples:
3x+2y=-22x-y=1
Para resolver, da segunda obtemos y=2x-1 e substituímos na primeira:

Passo 4

Substituindo y=2x-1 em 3x+2y=-2:
$$3x+2(2x-1)=-2\implies3x+4x-2=-2\implies7x=0\
\implies x=0.$$
Então 3x+2(2x-1)=-2implies3x+4x-2=-2implies7x=0 implies x=0.

Passo 5

Portanto a solução do sistema é:
(x,y)=(0,-1)

Resposta

(x,y) = (0,-1)

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