Determine o intervalo I, tal que x in I, de modo que a série seja convergente:
sumn=o^+infty x^n2^n

Passo 1

Temos a série sumn=0^infty x^n2^n. O conteúdo é séries de potências e vamos usar o critério de convergência de série geométrica.

Passo 2

Note que o termo geral pode ser escrito como (x2)^n, ou seja, ela é uma série geométrica com razão r = x2.

Passo 3

A condição de convergência de uma série geométrica sum r^n é |r|<1. Logo, precisamos de
|x2| < 1

Passo 4

Essa desigualdade é equivalente a |x|<2. Agora, nos extremos temos: para x=2 a série vira sum1 que diverge, e para x=-2 vira sum(-1)^n que não converge.

Passo 5

Portanto, o intervalo de convergência é aberto, sem incluir os extremos.

Resposta

(-2,2)

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