A equação de difusão de temperatura em uma barra infinita com termo fonte é dada por
ut(x, t)=c^2 ux x(x, t)+f(x, t), & para x in(-infty,+infty), t in(0,+infty), u(x, 0)=0, & para x in(-infty,+infty)
A função f(x, t) modela uma fonte de calor. Encontre a solução deste problema. Em seguida, escreva a solução nos seguintes exemplos:
f(x, t)=de

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema: temos a equação de difusão em uma barra infinita com coeficiente de difusão c^2, fonte f(x,t) arbitrária e condição inicial nula. O que precisamos aqui é da solução geral para o PDE não-homogêneo e, depois, aplicar o caso específico f(x,t)=de.

Passo 2

O método mais direto é usar a função de Green (núcleo de calor) para o domínio inteiro. Sabemos que, para a equação ut = c^2 uxx em xin(-infty,infty) com condição inicial zero, o núcleo de calor é
G(x,t) = 12craizpi t expl(-x^24c^2 tr), t>0
Assim, a solução para fonte arbitrária f(x,t) e u(x,0)=0 é dada por convolução dupla
u(x,t)=integral0^t!integral-infty^+infty G(x-xi,,t-tau),f(xi,tau),dxi,dtau

Passo 3

Agora, substituímos f(x,t)=de. Como esta fonte não depende de x, temos f(xi,tau)=de. Então o duplo integral vira apenas integração em tau e em xi:
u(x,t)=integral0^t!integral-infty^+infty G(x-xi, t-tau),de
Integrando primeiro em tau pela propriedade da delta, só contribui tau=b, desde que b<= t. Ao extrair o deltinha, ficamos com
nu(x,t)= integral-infty^+infty G(x-xi,,t-b),dxi, & t>= b,[6pt] 0, & t
Mas o núcleo de calor integra 1 sobre xi para qualquer t-b>0:
integral-infty^+infty G(x-xi,,s),dxi =1 para s>0

Passo 4

Portanto, concluímos que a solução gerada pela fonte de é um degrau unitário em t=b, uniforme em x.

Resposta

u(x,t)=0,&t= b

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