A equação de difusão de temperatura em uma barra infinita com termo fonte é dada por
A função modela uma fonte de calor. Encontre a solução deste problema. Em seguida, escreva a solução nos seguintes exemplos:
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema: temos a equação de difusão em uma barra infinita com coeficiente de difusão , fonte arbitrária e condição inicial nula. O que precisamos aqui é da solução geral para o PDE não-homogêneo e, depois, aplicar o caso específico .
Passo 2
O método mais direto é usar a função de Green (núcleo de calor) para o domínio inteiro. Sabemos que, para a equação em com condição inicial zero, o núcleo de calor é
Assim, a solução para fonte arbitrária e é dada por convolução dupla
Passo 3
Agora, substituímos . Como esta fonte não depende de , temos . Então o duplo integral vira apenas integração em e em :
Integrando primeiro em pela propriedade da delta, só contribui , desde que . Ao extrair o deltinha, ficamos com
Mas o núcleo de calor integra 1 sobre xi para qualquer t-b>0:
integral-infty^+infty G(x-xi,,s),dxi =1 para s>0
Passo 4
Portanto, concluímos que a solução gerada pela fonte de é um degrau unitário em t=b, uniforme em x.