Dê exemplo de uma série (que não seja a
) cuja sequência do termo geral converge, mas a série diverge. Justifique matematicamente sua escolha.
Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos dar um exemplo de uma série cuja sequência do termo geral converge para zero, mas a própria série diverge. O conteúdo envolvido são séries numéricas, teste de convergência (especialmente o teste da integral ou comparação) e o comportamento do termo geral.
Passo 2
Escolha da série e verificação do termo geral: Vamos considerar a série
Primeiro, conferimos o limite do termo geral:
Assim, a condição necessária
para convergência da série está satisfeita.
Passo 3
Justificativa da divergência pelo teste da integral: Pelo teste da integral, comparamos a série à integral imprópria
Calculando a integral,
Como essa integral diverge, a série
também diverge.
Passo 4
Conclusão: A série escolhida tem termo geral que vai a zero, mas diverge pelo teste da integral. Ela atende exatamente ao que o enunciado pedia.
Resposta
A série
.