Dê exemplo de uma série (que não seja a sumk=1^+infty 1k ) cuja sequência do termo geral converge, mas a série diverge. Justifique matematicamente sua escolha.

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos dar um exemplo de uma série cuja sequência do termo geral converge para zero, mas a própria série diverge. O conteúdo envolvido são séries numéricas, teste de convergência (especialmente o teste da integral ou comparação) e o comportamento do termo geral.

Passo 2

Escolha da série e verificação do termo geral: Vamos considerar a série
sumk=1^infty ak com ak = 1raizk
Primeiro, conferimos o limite do termo geral:
limktoinfty ak = limktoinfty 1raizk = 0
Assim, a condição necessária akto0 para convergência da série está satisfeita.

Passo 3

Justificativa da divergência pelo teste da integral: Pelo teste da integral, comparamos a série à integral imprópria
integral1^infty 1raizx ,dx
Calculando a integral,
integral1^infty x^-1/2 ,dx = [2raizx]1^infty = limbtoinfty (2raizb - 2) = +infty
Como essa integral diverge, a série sumk=1^infty tfrac1raizk também diverge.

Passo 4

Conclusão: A série escolhida tem termo geral que vai a zero, mas diverge pelo teste da integral. Ela atende exatamente ao que o enunciado pedia.

Resposta

A série sumk=1^infty 1raizk.

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