(1.0) Determine o intervalo de maior amplitude dentro do qual o problema de valor inicial proposto tem uma única solução
(x^2-4) cdot d^2 yd x^2-1x cdot d yd x+4 y=3, y(1)=0 e y^prime(1)=1

Passo 1

Temos a EDO de 2ª ordem com condições iniciais:
Âmbito do problema: Teorema de existência e unicidade para equação diferencial de 2ª ordem.
A EDO é
(x^2 - 4),y'' - 1x,y' + 4y = 3,
y as condições iniciais são y(1)=0 e y'(1)=1. Para aplicar o teorema, precisamos escrever a equação na forma normal y'' = f(x,y,y') e verificar onde f e suas derivadas parciais em y e y' são contínuas.

Passo 2

Reescrevendo em forma normal, isolamos y'':
y'' = tfrac1x,y' - 4y + 3x^2 - 4
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f(x,y,y') = tfrac1x,y' - 4y + 3x^2 - 4
Para o teorema, devemos verificar onde f, partial f/partial y e partial f/partial y' são contínuas.

Passo 3

Observamos que f tem potenciais descontinuidades quando o denominador x^2 - 4 = 0 (ou seja, x=pm2) e quando aparece 1/x (ou seja, x=0).
Portanto, f e suas derivadas parciais são contínuas em cada um dos intervalos:
(-infty,-2), (-2,0), (0,2), (2,infty)

Passo 4

Como o ponto inicial é x0 = 1, que pertence ao intervalo (0,2), a solução única garantida pelo teorema existe e é única enquanto x permanecer nesse intervalo, pois não cruzamos as singularidades em x=0 ou x=2.

Resposta

(0,2)

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