Dada a equação diferencial y^prime prime-2 y^prime-8 y=2 x^2 :
(2.0) Usando o método de variação de parâmetros determine a solução geral do P.V.I. y^prime prime-2 y^prime-8 y=e^-2 x, y(0)=0, y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução do problema de valor inicial y''-2y'-8y=e^-2x, com y(0)=0 e y'(0)=0, usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2º ordem não-homogêneas e vamos precisar da solução geral da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea y''-2y'-8y=0. A equação característica é r^2-2r-8=0, cujas raízes são r=4 e r=-2. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1 e^4x+C2 e^-2x

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros precisamos do Wronskiano das duas soluções fundamentais y1=e^4x e y2=e^-2x. Calculamos
W(x)=dety1 & y2 y1' & y2' =dete^4x & e^-2x4e^4x & -2e^-2x =-6e^2x

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos funções u1'(x) e u2'(x) via
u1'=-f(x),y2W, u2'=f(x),y1W,
onde f(x)=e^-2x. Substituindo,
u1'(x)=-e^-2xcdot e^-2x-6e^2x=e^-6x6,
u2'(x)=e^-2xcdot e^4x-6e^2x=-16

Passo 5

Agora integramos para achar u1 e u2:
u1(x)=integral e^-6x6,dx=-136e^-6x,
u2(x)=integral -16,dx=-x6

Passo 6

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2=-136e^-6xe^4x-x6e^-2x =-6x+136e^-2x

Passo 7

A solução geral da não-homogênea fica
y(x)=C1e^4x+C2e^-2x-6x+136e^-2x

Passo 8

Para impor y(0)=0 notamos que y(0)=C1+C2-1/36=0, então
C1+C2=136

Passo 9

Calculamos y'(x)=4C1e^4x-2C2e^-2x+yp'(x). Derivando yp
yp'(x)=3x-19e^-2x
Em x=0 isso vale
-1/9) A condição (y'(0)=0
ou seja 4C1-2C2-19=0, .

Passo 10

Resolvendo o sistema
C1+C2=1/36, 4C1-2C2=1/9,
obtemos C1=1/36 e C2=0.

Passo 11

Substituindo de volta, a solução do P.V.I. é
y(x)=136e^4x-6x+136e^-2x

Resposta

A solução do P.V.I. é y(x)=tfrac136e^4x-tfrac6x+136e^-2x

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