Dada a equação diferencial
:
(2.0) Usando o método de variação de parâmetros determine a solução geral do P.V.I.
.
(2.0) Usando o método de variação de parâmetros determine a solução geral do P.V.I.
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução do problema de valor inicial
, com
e
, usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2º ordem não-homogêneas e vamos precisar da solução geral da homogênea, do Wronskiano e das fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro resolvemos a homogênea
. A equação característica é
, cujas raízes são
e
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros precisamos do Wronskiano das duas soluções fundamentais
e
. Calculamos
Passo 4
Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos funções
e
via
onde
. Substituindo,
Passo 5
Agora integramos para achar
e
:
Passo 6
A solução particular é
Passo 7
A solução geral da não-homogênea fica
Passo 8
Para impor
notamos que
, então
Passo 9
Calculamos
. Derivando
dá
Em
isso vale dá
ou seja
.
Passo 10
Resolvendo o sistema
obtemos
e
.
Passo 11
Substituindo de volta, a solução do P.V.I. é
Resposta
A solução do P.V.I. é