Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

Temos a equação diferencial na forma
(x+3y),dx + (3x-2y),dy = 0
O objetivo é encontrar a solução implícita e, para isso, vamos verificar se ela é exata.

Passo 2

Identificamos as funções
$$M(x,y)=x+3y,
M(x,y)=x+3y, N(x,y)=3x-2y.
N(x,y)=3x-2y ã\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
$$

Passo 3

Calculando as derivadas parciais, obtemos
$$\frac{\partial M}{\partial y} = 3
partial Mpartial y = 3 \frac{\partial N}{\partial x} = 3.
partial Npartial x = 3 ãçãéçãd\psi = M,dx + N,dy.
$$

Passo 4

Para achar psi(x,y), integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integral (x+3y),dx = x^22 + 3xy + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 5

Derivamos psi em relação a y e igualamos a N:
partial psipartial y = 3x + h'(y) = 3x - 2y
Daí vem h'(y) = -2y e, integrando, h(y) = -y^2 + C1.

Passo 6

Substituindo h(y) em psi(x,y) e reunindo constantes, a solução geral implícita é
psi(x,y) = x^22 + 3xy - y^2 = C
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, chegamos a
x^2 + 6xy - 2y^2 = k

Resposta

x^2 + 6xy - 2y^2 = k

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