Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:
R.
R.
Passo 1
Temos a equação diferencial na forma
O objetivo é encontrar a solução implícita e, para isso, vamos verificar se ela é exata.
Passo 2
Identificamos as funções
$$M(x,y)=x+3y,
$$
Passo 3
Calculando as derivadas parciais, obtemos
$$\frac{\partial M}{\partial y} = 3
$$
Passo 4
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Daí vem
e, integrando,
.
Passo 6
Substituindo
em
e reunindo constantes, a solução geral implícita é
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, chegamos a