Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o intervalo máximo de convergência da série de potências . O conteúdo envolvido é raio de convergência de séries de potências, e vamos precisar usar o teste da raiz e a fórmula de Stirling para avaliar limites.
Passo 2
Pela definição do teste da raiz, consideramos para . Assim temos .
Usando a aproximação de Stirling n!simraiz2pi n(n/e)^n, obtemos l(tfracn!n^nr)^1/nsiml(tfrac(n/e)^nraiz2pi nn^nr)^1/n = tfrac1e,(2pi n)^1/(2n), e sabemos que limntoinfty(2pi n)^1/(2n)=1. Logo o limite vale tfrac1e.
Passo 3
A condição de convergência pelo teste da raiz fica tfrac1e,|x|^3<1, ou seja |x|^3, o que dá |x|. Dessa forma, o raio de convergência é R=e^1/3 e a série converge para |x|.
Passo 4
Nos extremos x=pm e^1/3 o termo geral é tfracn!n^n,(pm e^1/3)^3n = tfracn!n^n,(pm e)^n, cujo módulo é tfracn!n^ne^nsimraiz2pi n, que não tende a zero. Logo a série diverge nos dois extremos.