Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
sumn=1^infty n!n^n x^3 n

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o intervalo máximo de convergência da série de potências sumn=1^infty n!n^n x^3n. O conteúdo envolvido é raio de convergência de séries de potências, e vamos precisar usar o teste da raiz e a fórmula de Stirling para avaliar limites.

Passo 2

Pela definição do teste da raiz, consideramos limntoinfty |an|^1/n para an = n!n^nx^3n. Assim temos limntoinfty l|tfracn!n^nx^3nr|^1/n = limntoinfty l(tfracn!n^nr)^1/n,|x|^3.
Usando a aproximação de Stirling n!simraiz2pi n(n/e)^n, obtemos l(tfracn!n^nr)^1/nsiml(tfrac(n/e)^nraiz2pi nn^nr)^1/n = tfrac1e,(2pi n)^1/(2n), e sabemos que limntoinfty(2pi n)^1/(2n)=1. Logo o limite vale tfrac1e.

Passo 3

A condição de convergência pelo teste da raiz fica tfrac1e,|x|^3<1, ou seja |x|^3, o que dá |x|. Dessa forma, o raio de convergência é R=e^1/3 e a série converge para |x|.

Passo 4

Nos extremos x=pm e^1/3 o termo geral é tfracn!n^n,(pm e^1/3)^3n = tfracn!n^n,(pm e)^n, cujo módulo é tfracn!n^ne^nsimraiz2pi n, que não tende a zero. Logo a série diverge nos dois extremos.

Resposta

(-e^{1/3}, e^{1/3})

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