Usando derivação implícita encontre $ \frac{d y}{d x} $ e depois calcule a derivada no referido ponto
Passo 1
Nesse exercício temos uma curva implícita dada por . O conteúdo é derivação implícita, ou seja, vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a , lembrando que é função de .
Passo 2
Aplicando derivada em cada termo: a derivada de em relação a é . Para , como , usamos a regra da cadeia: primeiro derivamos em relação a , que é , e depois multiplicamos por . Assim a derivada de é . Do lado direito, a derivada de 9 é zero.
Somando tudo e igualando a zero, ficamos com:
Passo 3
Agora isolamos :
Passo 4
Falta só avaliar em . Substituindo na expressão de :
Se preferir racionalizar, multiplica numerador e denominador por raiz2, ficando -raiz2/8.
Resposta
A derivada implícita geral é dydx = -x4y e no ponto (1,raiz2) temos dydx = -14raiz2 (ou, racionalizando, -tfracraiz28).