Usando derivação implícita encontre $ \frac{d y}{d x} $ e depois calcule a derivada no referido ponto
d yd x

Passo 1

Nesse exercício temos uma curva implícita dada por x^2 + 4y^2 = 9. O conteúdo é derivação implícita, ou seja, vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y é função de x.

Passo 2

Aplicando derivada em cada termo: a derivada de x^2 em relação a x é 2x. Para 4y^2, como y=y(x), usamos a regra da cadeia: primeiro derivamos y^2 em relação a y, que é 2y, e depois multiplicamos por dy/dx. Assim a derivada de 4y^2 é 4cdot2ycdotdydx = 8ydydx. Do lado direito, a derivada de 9 é zero.
Somando tudo e igualando a zero, ficamos com:
2x + 8ydydx = 0

Passo 3

Agora isolamos dydx:
8ydydx = -2x
dydx = -2x8y = -x4y

Passo 4

Falta só avaliar em (x,y)=(1,raiz2). Substituindo na expressão de tfracdydx:
dydx|(1,raiz2) = -14raiz2
Se preferir racionalizar, multiplica numerador e denominador por raiz2, ficando -raiz2/8.

Resposta

A derivada implícita geral é dydx = -x4y e no ponto (1,raiz2) temos dydx = -14raiz2 (ou, racionalizando, -tfracraiz28).

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