Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
sumn=1^infty n!n^n x^n!

Passo 1

O exercício pede pra achar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^inftyn!n^n,x^n!. O assunto aqui é teste de convergência de séries (mais especificamente séries de potências) e vamos usar principalmente o teste da raiz.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para os termos un, se L=limsupntoinftyraiz[n]|un|, então a série sum un converge absolutamente se L<1 e diverge se L>1.

Passo 3

Aqui un=n!n^nx^n!. Vamos calcular
raiz[n]|un| =raiz[n]n!n^n,|x|^n! =(n!)^1/nn;|x|^n!/n =(n!)^1/nn;|x|^(n-1)!

Passo 4

Para ver o comportamento de (n!)^1/n/n, usamos a aproximação de Stirling
n!sim n^n e^-nraiz2pi n
o que leva a
(n!)^1/nsim n e^-1,
e assim
(n!)^1/nnsimn/en=1e

Passo 5

Logo
  • Se |x|<1, então |x|^(n-1)!to0 superrápido, de modo que raiz[n]|un|to0<1, e a série converge.
  • Se |x|>1, então |x|^(n-1)!toinfty, logo raiz[n]|un|toinfty>1, e a série diverge (nem mesmo os termos vão a zero).
  • Se |x|=1, então raiz[n]|un|to1/e<1, de modo que a série converge também nesse caso.

Passo 6

Concluímos que a série converge para todos os x tais que |x|<=1 e diverge para |x|>1.

Resposta

O intervalo máximo de convergência é [-1, 1].

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