Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
O exercício pede pra achar o intervalo de convergência da série de potências
. O assunto aqui é teste de convergência de séries (mais especificamente séries de potências) e vamos usar principalmente o teste da raiz.
Passo 2
O teste da raiz diz que, para os termos
, se
, então a série
converge absolutamente se
e diverge se
.
Passo 3
Aqui
. Vamos calcular
Passo 4
Para ver o comportamento de
, usamos a aproximação de Stirling
o que leva a
e assim
Passo 5
Logo
- Se
, então superrápido, de modo que , e a série converge. - Se
, então , logo , e a série diverge (nem mesmo os termos vão a zero). - Se
, então , de modo que a série converge também nesse caso.
Passo 6
Concluímos que a série converge para todos os
tais que
e diverge para
.
Resposta
O intervalo máximo de convergência é [-1, 1].