Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:

Passo 1

Temos a série de potências
sumn=1^infty x^nl(2+(-1)^nr)^n
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois testar os extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, calculamos
L = limsupntoinfty raiz[n]|x^nl(2+(-1)^nr)^n| = limsupntoinfty |x|l|2+(-1)^nr|
Como 2+(-1)^n alterna entre 1 e 3, o supremo é dado por 1, logo
L = |x|
Pelo teste da raiz, a série converge se L<1, ou seja |x|<1.

Passo 3

Precisamos verificar agora os extremos x=1 e x=-1:
  • Para x=1, o termo geral fica
    n
    Quando x=-1 é ímpar isso vale 1, então os termos não tendem a zero e a série diverge.
  • Para n, o termo geral é
    -1
    que para ímpar vale , de novo não tende a zero, logo diverge nos extremos.

Resposta

(-1,1)

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