Seja
a função posição. Determine a velocidade, aceleração e a velocidade escalar da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função posição
. O objetivo é encontrar três coisas: a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a vetores, como derivação de funções vetoriais e cálculo de módulo de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo
. Ou seja,
Vamos derivar cada componente da função posição:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo
, ou seja,
Vamos derivar cada componente da velocidade:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, a aceleração é:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a velocidade escalar, que é o módulo da velocidade vetor. Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
Substituindo os componentes da velocidade:
Resposta
A velocidade da partícula é
, a aceleração é
e a velocidade escalar é $ |\mathbf{v}(t)| = \sqrt{4t^{2} + 4 + \frac{1}{t^{2}}} $.