Seja a função posição. Determine a velocidade, aceleração e a velocidade escalar da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função posição r(t) = t^2 i + 2t j + ln t k. O objetivo é encontrar três coisas: a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a vetores, como derivação de funções vetoriais e cálculo de módulo de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo t. Ou seja,
v(t) = dr(t)dt
Vamos derivar cada componente da função posição:
  • Derivada de t^2 em relação a t é 2t.
  • Derivada de 2t em relação a t é 2.
  • Derivada de ln t em relação a t é 1t.
Então, a velocidade é:
v(t) = 2t i + 2 j + 1t k

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo t, ou seja,
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada componente da velocidade:
  • Derivada de 2t em relação a t é 2.
  • Derivada de 2 em relação a t é 0.
  • Derivada de 1t em relação a t é -1t^2.
Então, a aceleração é:
a(t) = 2 i + 0 j - 1t^2 k

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar a velocidade escalar, que é o módulo da velocidade vetor. Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|v(t)| = raiz(vx)^2 + (vy)^2 + (vz)^2
Substituindo os componentes da velocidade:
|v(t)| = raiz(2t)^2 + (2)^2 + (1t)^2 = raiz4t^2 + 4 + 1t^2

Resposta

A velocidade da partícula é v(t) = 2t i + 2 j + 1t k, a aceleração é a(t) = 2 i - 1t^2 k e a velocidade escalar é $ |\mathbf{v}(t)| = \sqrt{4t^{2} + 4 + \frac{1}{t^{2}}} $.

Exercícios relacionados