Determine o intervalo onde a função f(x)=x^3-3 x^2 é crescente.

Passo 1

Beleza, a gente tem que descobrir onde a função está aumentando. Isso entra no assunto de cálculo, especificamente usando derivadas para identificar intervalos onde a função cresce. Vamos precisar calcular a derivada da função e ver onde ela é positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f'(x) = ddx(x^3) - ddx(3x^2) = 3x^2 - 6x . A derivada de uma função nos diz a inclinação da função naquele ponto. Se a derivada for positiva, a função está aumentando.
Então, calculando a derivada:

Passo 3

Agora que temos a derivada 3x^2 - 6x > 0 , vamos descobrir onde ela é maior que zero, ou seja:

Passo 4

Vamos simplificar essa desigualdade:
3x^2 - 6x = 3x(x - 2)
Então, a desigualdade fica:
3x(x - 2) > 0

Passo 5

Para resolver 3x = 0 Rightarrow x = 0 , vamos encontrar os valores de x - 2 = 0 Rightarrow x = 2 que fazem cada fator igual a zero:
Esses valores dividem a reta numérica em três intervalos: , e .

Passo 6

Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva:
  1. Para :
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Negativo × Negativo = Positivo.
  2. Para :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Positivo × Negativo = Negativo.
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Positivo × Positivo = Positivo.

Resposta

A função está crescente nos intervalos e .

Exercícios relacionados