A série de Taylor em torno de 0 da funçāo sin (x) é
sin (x)=sumn=0^infty (-1)^n(2 n+1)! x^2 n+1
Determine a derivada de ordem 25 da função sin (x) em x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada de ordem 25 da função sin(x) no ponto x=0. Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função seno, que nos ajuda a representar a função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de x. Vamos precisar entender como as derivadas se relacionam com os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma série de Taylor de uma função f(x) em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Isso significa que cada coeficiente da potência x^n na série está relacionado à n-ésima derivada da função no ponto 0.

Passo 3

No nosso caso, a série de Taylor da função sin(x) já foi fornecida:
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^2n+1
Observamos que somente as potências ímpares de x aparecem, o que faz sentido, já que sin(x) é uma função ímpar.

Passo 4

Queremos encontrar a derivada de ordem 25, ou seja, f^(25)(0). De acordo com a relação da série de Taylor, temos:
f^(n)(0)n! = coeficiente de x^n na série é
Então,
f^(25)(0) = 25! times coeficiente de x^25
Vamos identificar o coeficiente de x^25 na série de sin(x).

Passo 5

Na série de sin(x), os termos são da forma x^2n+1. Para encontrar quando 2n+1 = 25, resolvemos:
2n + 1 = 25 Rightarrow 2n = 24 Rightarrow n = 12
Então, o coeficiente de x^25 é:
(-1)^12(2 times 12 + 1)! = 125!
Agora, substituindo na fórmula da derivada:
f^(25)(0) = 25! times 125! = 1

Resposta

A derivada de ordem 25 da função sin(x) em x=0 é igual a 1.

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