A série de Taylor em torno de 0 da funçāo
é
Determine a derivada de ordem 25 da função
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada de ordem 25 da função
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função seno, que nos ajuda a representar a função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Vamos precisar entender como as derivadas se relacionam com os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma série de Taylor de uma função
em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que cada coeficiente da potência
na série está relacionado à
-ésima derivada da função no ponto 0.
Passo 3
No nosso caso, a série de Taylor da função
já foi fornecida:
Observamos que somente as potências ímpares de
aparecem, o que faz sentido, já que
é uma função ímpar.
Passo 4
Queremos encontrar a derivada de ordem 25, ou seja,
. De acordo com a relação da série de Taylor, temos:
Então,
Vamos identificar o coeficiente de
na série de
.
Passo 5
Na série de
, os termos são da forma
. Para encontrar quando
, resolvemos:
Então, o coeficiente de
é:
Agora, substituindo na fórmula da derivada:
Resposta
A derivada de ordem 25 da função
em
é igual a 1.