Determine o intervalo e raio de convergência da seguinte série de potências:
sum n^22^2 n x^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
sum n^22^2 n x^n
Nosso objetivo é encontrar o intervalo de convergência e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar onde a série converge.

Passo 2

O Teste da Razão nos ajuda a encontrar o limite da razão entre o termo geral limn to infty | an+1an | e . Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, vamos calcular:
Onde .

Passo 3

Substituindo an+1an = (n+1)^22^2(n+1) x^n+1 cdot 2^2nn^2 x^n = (n+1)^2n^2 cdot 14 cdot x na expressão, temos:
| an+1an | = | (n+1)^2n^2 cdot x4 |
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | (n+1)^2n^2 cdot x4 | = limn to infty | (1 + 1n)^2 cdot x4 | = | x4 | tende ao infinito:
Isso porque tende a 1 quando vai para o infinito.

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que:
| x4 | < 1
Isso significa:
|x| < 4

Passo 6

O raio de convergência R = 4 é o valor tal que . Então, neste caso:
Para encontrar o intervalo de convergência, verificamos os pontos finais e .

Passo 7

Vamos testar sum n^22^2n cdot 4^n = sum n^24^n cdot 4^n = sum n^2 :
sum n^22^2n cdot (-4)^n = sum n^24^n cdot (-4)^n = sum n^2 (-1)^n
Essa série diverge porque é uma série p com , que diverge.
Agora, vamos testar :
Essa série também diverge porque não satisfaz as condições do teste da série alternada.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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