Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a série de Taylor da função
em torno de
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função seno e adaptar para o caso de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função seno em torno de 0. A série de Taylor de
é dada por:
Aqui,
é a variável da função. No nosso caso, temos
. Então, vamos substituir
por
na série.
Passo 3
Substituindo
por
na série de Taylor da seno, ficamos com:
Agora, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
. Portanto, a série fica:
Passo 4
Agora que temos a série de Taylor, vamos determinar o intervalo de convergência. A série de Taylor do seno,
, converge para todo
real, ou seja, seu intervalo de convergência é
.
Como substituímos
por
, e
é sempre não negativo para qualquer valor real de
, a série
também converge para todo
real. Portanto, o intervalo de convergência da série de Taylor de
é o mesmo da série original da seno, que é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.