Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
f(x)=sen x^2 em x0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a série de Taylor da função em torno de e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função seno e adaptar para o caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função seno em torno de 0. A série de Taylor de sin(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)! é dada por:
Aqui, é a variável da função. No nosso caso, temos . Então, vamos substituir por na série.

Passo 3

Substituindo sin(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n+1(2n+1)! por sin(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! na série de Taylor da seno, ficamos com:
Agora, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Portanto, a série fica:

Passo 4

Agora que temos a série de Taylor, vamos determinar o intervalo de convergência. A série de Taylor do seno, , converge para todo real, ou seja, seu intervalo de convergência é .
Como substituímos por , e é sempre não negativo para qualquer valor real de , a série também converge para todo real. Portanto, o intervalo de convergência da série de Taylor de é o mesmo da série original da seno, que é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

A série de Taylor de sin(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! em torno de é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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