Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é escrever a série de Taylor para a função
em torno de
. Isso significa que vamos expandir essa função em uma soma infinita de potências de
. Para isso, vamos usar conceitos de algebra básica e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a função para facilitar a expansão. Observa que:
Podemos reescrever essa fração de uma forma que nos ajude a reconhecer uma série geométrica, que é mais fácil de expandir. Vamos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, separamos a fração:
Isso nos ajuda a identificar termos que podemos expandir usando a série geométrica.
Passo 4
Lembra da série geométrica? Ela é dada por:
Aqui, podemos aplicar essa fórmula substituindo
por
:
Passo 5
Vamos aplicar isso nos dois termos separados que temos:
Passo 6
Então, juntando tudo de volta na expressão de
:
Podemos simplificar as somas:
Passo 7
Agora, juntamos as duas séries:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A série de Taylor para
em torno de
é:
O intervalo de convergência dessa série é
.