Escrever a série de Taylor para a seguinte função e dar o intervalo de convergência:
f(x)=x+1x-1 em x0=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é escrever a série de Taylor para a função em torno de . Isso significa que vamos expandir essa função em uma soma infinita de potências de . Para isso, vamos usar conceitos de algebra básica e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função para facilitar a expansão. Observa que:
f(x) = x + 1x - 1
Podemos reescrever essa fração de uma forma que nos ajude a reconhecer uma série geométrica, que é mais fácil de expandir. Vamos fatorar o denominador:
f(x) = x + 1x - 1 = -x + 11 - x

Passo 3

Agora, separamos a fração:
f(x) = -x + 11 - x = -( x1 - x + 11 - x )
Isso nos ajuda a identificar termos que podemos expandir usando a série geométrica.

Passo 4

Lembra da série geométrica? Ela é dada por:
11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1
Aqui, podemos aplicar essa fórmula substituindo 11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1 por :

Passo 5

Vamos aplicar isso nos dois termos separados que temos:
x1 - x = x cdot 11 - x = x cdot sumn=0^infty x^n = sumn=0^infty x^n+1
11 - x = sumn=0^infty x^n

Passo 6

Então, juntando tudo de volta na expressão de f(x) = -( sumn=0^infty x^n+1 + sumn=0^infty x^n ) :
f(x) = -( sumn=1^infty x^n + sumn=0^infty x^n )
Podemos simplificar as somas:

Passo 7

Agora, juntamos as duas séries:
f(x) = -( sumn=0^infty x^n + sumn=1^infty x^n ) = -( 1 + 2sumn=1^infty x^n )
Simplificando ainda mais:
f(x) = -1 - 2sumn=1^infty x^n

Resposta

A série de Taylor para f(x) = -1 - 2x - 2x^2 - 2x^3 - 2x^4 - dots = -1 - 2sumn=1^infty x^n em torno de é:
O intervalo de convergência dessa série é .

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