Usando coordenadas polares, calcular
integral0^1 integral0^raiz4 y y^2(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

A integral é integral0^1!integral0^raiz4 - y^2(x^2+y^2),dx,dy. O conteúdo é troca para coordenadas polares, onde x=rcostheta, y=rsintheta e x^2+y^2=r^2. Vamos precisar também do Jacobiano dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

A região D no plano é limitada por y=0, y=1 e o círculo x^2+y^2=4. Em coordenadas polares isso vira dois arcos: o círculo r=2 e a reta rsintheta=1.

Passo 3

Para cada ângulo theta com 0<=theta<=tfracpi2, o raio vai de r=0 até o menor entre 2 e 1/sintheta. O choque entre r=2 e r=1/sintheta ocorre quando sintheta=1/2, isto é theta=pi/6. Assim dividimos em dois subdomínios:
bul<=t Para 0<=theta<=pi/6: r vai de 0 até 2.
bul<=t Para pi/6<=theta<=pi/2: r vai de 0 até 1/sintheta.

Passo 4

O integrando em polares é r^2 vezes o Jacobiano r, total r^3. Calculamos separadamente:
I1=integral0^pi/6!integral0^2r^3,dr,dtheta =integral0^pi/6l[tfracr^44r]0^2dtheta =integral0^pi/64,dtheta =4cdottfracpi6=tfrac2pi3

Passo 5

Para I2:
I2=integralpi/6^pi/2!integral0^1/sinthetar^3,dr,dtheta =tfrac14integralpi/6^pi/2!csc^4!theta,dtheta

Passo 6

Usando integralcsc^4theta,dtheta= -l(cottheta+tfraccot^3theta3r)+C, obtemos
I2=tfrac14l[-l(cottheta+tfraccot^3theta3r)r]pi/6^pi/2 =tfrac14l(0-(-2raiz3)r)=tfracraiz32

Passo 7

Somando as duas parcelas, o valor da integral é I=I1+I2=tfrac2pi3+tfracraiz32

Resposta

2pi3+raiz32

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