Usando coordenadas polares, calcular
Passo 1
A integral é
. O conteúdo é troca para coordenadas polares, onde
,
e
. Vamos precisar também do Jacobiano
.
Passo 2
A região
no plano é limitada por
,
e o círculo
. Em coordenadas polares isso vira dois arcos: o círculo
e a reta
.
Passo 3
Para cada ângulo
com
, o raio vai de
até o menor entre
e
. O choque entre
e
ocorre quando
, isto é
. Assim dividimos em dois subdomínios:
Para
:
vai de 0 até 2.
Para
:
vai de 0 até
.
Passo 4
O integrando em polares é
vezes o Jacobiano
, total
. Calculamos separadamente:
Passo 5
Para
Passo 6
Usando
, obtemos
Passo 7
Somando as duas parcelas, o valor da integral é