Determine o intervalo e raio de convergência da seguinte série de potências
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
Estamos lidando com séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para encontrar o intervalo e o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Para aplicar o Teste da Razão, calculamos o limite:
Passo 3
Vamos calcular
an+1an :
Simplificando:
Passo 4
Calculamos o valor absoluto e o limite quando
n tende ao infinito:
Como
raizn+1raizn+2 to 1 quando
n to infty , temos:
Passo 5
Para a série convergir, o limite
L deve ser menor que 1:
Resolvendo para
|x| :
Isso nos dá o raio de convergência
R = 13 .
Passo 6
Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge absolutamente para
|x| < 13 .
Vamos verificar os extremos do intervalo:
-
Para
:x = 13 A série se torna:sumn=0^infty (-3)^n (13)^nraizn+1 = sumn=0^infty (-1)^nraizn+1 Esta é uma série alternada que converge pela Teste da Série Alternada, já que é decrescente e tende a zero.1raizn+1 -
Para
:x = -13 A série se torna:sumn=0^infty (-3)^n (-13)^nraizn+1 = sumn=0^infty 1raizn+1 Esta é uma série p com , que diverge.p = 12 < 1
Resposta
O raio de convergência é
R = 13 e o intervalo de convergência é
- 13 < x <= 13 .