Determine o intervalo e raio de convergência da seguinte série de potências
sum(-3)^n x^nraizn+1

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
sumn=0^infty (-3)^n x^nraizn+1
Estamos lidando com séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para encontrar o intervalo e o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = (-3)^n x^nraizn+1
Para aplicar o Teste da Razão, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 3

Vamos calcular an+1an:
an+1an = (-3)^n+1 x^n+1raizn+2(-3)^n x^nraizn+1
Simplificando:
an+1an = (-3) cdot x cdot raizn+1raizn+2

Passo 4

Calculamos o valor absoluto e o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (-3) cdot x cdot raizn+1raizn+2 | = 3|x| cdot limn to infty raizn+1raizn+2
Como raizn+1raizn+2 to 1 quando n to infty, temos:
L = 3|x|

Passo 5

Para a série convergir, o limite L deve ser menor que 1:
3|x| < 1
Resolvendo para |x|:
|x| < 13
Isso nos dá o raio de convergência R = 13.

Passo 6

Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge absolutamente para |x| < 13.
Vamos verificar os extremos do intervalo:
  • Para x = 13:
    A série se torna:
    sumn=0^infty (-3)^n (13)^nraizn+1 = sumn=0^infty (-1)^nraizn+1
    Esta é uma série alternada que converge pela Teste da Série Alternada, já que 1raizn+1 é decrescente e tende a zero.
  • Para x = -13:
    A série se torna:
    sumn=0^infty (-3)^n (-13)^nraizn+1 = sumn=0^infty 1raizn+1
    Esta é uma série p com p = 12 < 1, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é R = 13 e o intervalo de convergência é - 13 < x <= 13.

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