Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes problemas de valor inicial (PVI):
b.
b.
Passo 1
O problema é um PVI dado por
com condição inicial
. O assunto aqui é existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias, e vamos precisar usar o teorema de Picard–Lindelöf (continuidade de
e de
) e também encontrar soluções explícitas para mostrar se há mais de uma.
Passo 2
Definimos
. Note que
está bem definida e contínua em qualquer região com
. Porém, sua derivada parcial em relação a
é
e esse termo não é contínuo nem definido em
Passo 3
Uma solução imediata é a solução trivial
Passo 4
Para buscar soluções não-triviais, separamos variáveis em
(isto é,
):
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Impondo
dá
, logo
Passo 7
o que leva à solução
Passo 8
Portanto temos pelo menos duas soluções do PVI:
e
, ambas satisfazendo
.
Como existem duas soluções distintas que satisfazem o mesmo PVI, concluímos que a solução não é única.
Como existem duas soluções distintas que satisfazem o mesmo PVI, concluímos que a solução não é única.
Resposta
Não há unicidade: existem pelo menos as soluções
e
.