Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes problemas de valor inicial (PVI):
b. ld yd x=x y^1 / 2 y(0)=0

Passo 1

O problema é um PVI dado por y' = xraizy com condição inicial y(0)=0. O assunto aqui é existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias, e vamos precisar usar o teorema de Picard–Lindelöf (continuidade de f e de partial f/partial y) e também encontrar soluções explícitas para mostrar se há mais de uma.

Passo 2

Definimos f(x,y)=xraizy. Note que f está bem definida e contínua em qualquer região com y>=0. Porém, sua derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y(x,y)=x12raizy
e esse termo não é contínuo nem definido em y=0. Logo, na vizinhança do ponto (0,0), o teorema de unicidade de Picard–Lindelöf não nos garante solução única.

Passo 3

Uma solução imediata é a solução trivial
y(x)=0para todo x

Passo 4

Para buscar soluções não-triviais, separamos variáveis em y'>0 (isto é, y>0):
dyraizy=x,dx

Passo 5

Integrando ambos os lados:
2raizy=x^22+C

Passo 6

Impondo y(0)=0 2raiz0=0+ CRightarrow C=0, logo
raizy=x^24,

Passo 7

o que leva à solução
y(x)=x^416

Passo 8

Portanto temos pelo menos duas soluções do PVI: y(x)=0 e y(x)=x^4/16, ambas satisfazendo y(0)=0.
Como existem duas soluções distintas que satisfazem o mesmo PVI, concluímos que a solução não é única.

Resposta

Não há unicidade: existem pelo menos as soluções y(x)=0 e y(x)=x^4/16.

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