Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
sum 3 n^2-5 n+1(2 n-1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a série sum 3 n^2-5 n+1(2 n-1)^3 converge ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de Séries numéricas e, mais especificamente, vamos usar o Teste da Razão para analisar a convergência dessa série. Para isso, precisamos entender o comportamento dos termos da série conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Temos:
3 n^2-5 n+1(2 n-1)^3
Para entender o comportamento dessa fração quando 3 n^2-5 n+1(2 n-1)^3 = 3n - 5n^2 + 1n^3(2 - 1n)^3 é grande, vamos dividir o numerador e o denominador pelo maior expoente de 3 n^2-5 n+1(2 n-1)^3 approx 08 = 0 presente, que é :
Quando tende ao infinito, os termos com , e vão se aproximar de zero. Então, simplificando:
Mas isso não nos dá muito, então vamos aplicar o Teste da Razão para uma análise mais precisa.

Passo 3

O Teste da Razão diz que, para a série an = 3 n^2-5 n+1(2 n-1)^3 , se o limite an+1 = 3 (n+1)^2-5 (n+1)+1(2 (n+1)-1)^3 = 3n^2 + 6n + 3 -5n -5 +1(2n+2-1)^3 = 3n^2 + n -1(2n+1)^3 for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 3n^2 + n -1(2n+1)^3 cdot (2n-1)^33n^2 -5n +1
Então,
L = limn to infty 3n^2(2n)^3 cdot (2n)^33n^2 = limn to infty 3n^28n^3 cdot 8n^33n^2 = 1
Agora, calculamos o limite:
Simplificando os termos de maior grau:

Passo 4

O limite 3n^2(2n)^3 = 3n^28n^3 = 38n nos diz que o Teste da Razão é inconclusivo nesse caso. Então, precisamos usar outro método para verificar a convergência da série. Vamos então comparar com uma série p conhecida.
Observamos que, para sum 1n grande, o comportamento da nossa série é semelhante a:
Então, nossa série se comporta como:
Essa é a Série Harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 5

Como nossa série se comporta de forma semelhante à Série Harmônica para grande, podemos concluir que ela também diverge.

Resposta

A série sum 3 n^2-5 n+1(2 n-1)^3 não converge.

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