Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a série converge ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de Séries numéricas e, mais especificamente, vamos usar o Teste da Razão para analisar a convergência dessa série. Para isso, precisamos entender o comportamento dos termos da série conforme cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Temos:
Para entender o comportamento dessa fração quando é grande, vamos dividir o numerador e o denominador pelo maior expoente de presente, que é :
Quando tende ao infinito, os termos com , e vão se aproximar de zero. Então, simplificando:
Mas isso não nos dá muito, então vamos aplicar o Teste da Razão para uma análise mais precisa.
Passo 3
O Teste da Razão diz que, para a série , se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 3n^2 + n -1(2n+1)^3 cdot (2n-1)^33n^2 -5n +1
Então,
L = limn to infty 3n^2(2n)^3 cdot (2n)^33n^2 = limn to infty 3n^28n^3 cdot 8n^33n^2 = 1
Agora, calculamos o limite:
Simplificando os termos de maior grau:
Passo 4
O limite 3n^2(2n)^3 = 3n^28n^3 = 38n nos diz que o Teste da Razão é inconclusivo nesse caso. Então, precisamos usar outro método para verificar a convergência da série. Vamos então comparar com uma série p conhecida.
Observamos que, para sum 1n grande, o comportamento da nossa série é semelhante a:
Então, nossa série se comporta como:
Essa é a Série Harmônica, que sabemos que diverge.
Passo 5
Como nossa série se comporta de forma semelhante à Série Harmônica para grande, podemos concluir que ela também diverge.