Determine o intervalo e raio de convergência da seguinte série de potências:
sum x^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
sum x^nn^2
Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série converge, ou seja, dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, uma ferramenta da matemática que ajuda a determinar se uma série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a descobrir se uma série infinita de termos se aproxima de um valor específico à medida que adicionamos mais termos. A gente usa a seguinte fórmula:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge. Se , a série diverge. E se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Aplicando isso à nossa série, onde an+1an = x^n+1(n+1)^2x^nn^2 = x^n+1 cdot n^2x^n cdot (n+1)^2 = x cdot ( nn+1 )^2 , vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | x cdot ( nn+1 )^2 | tende ao infinito:
L = |x| cdot 1^2 = |x|
Sabemos que , então:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x| < 1 :
Isso significa que a série converge quando está entre -1 e 1.

Passo 6

O raio de convergência é a distância do ponto central (neste caso, 0) até os pontos onde a série deixa de convergir. Como , o raio de convergência é 1.

Passo 7

Agora, vamos verificar o comportamento nos extremos do intervalo, ou seja, quando sum 1^nn^2 = sum 1n^2 e sum (-1)^nn^2 .
  • Para :
A série fica:
Essa é a conhecida série -teste com , que converge.
  • Para :
A série fica:
Essa é uma série alternada, e como tende a zero e é decrescente, ela também converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é 1.

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