Determine o intervalo e raio de convergência da seguinte série de potências:
sum 4^n x^3 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão ou reconhecer o padrão da série para determinar onde ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
sumn=0^infty 4^n x^3n
Podemos reescrever isso como:
sumn=0^infty (4x^3)^n
Isso porque . Agora, a série está na forma de uma série geométrica.

Passo 3

Uma série geométrica tem a forma |4x^3| < 1 , onde é a razão. A série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso, . Então, para que a série converja, precisamos que:

Passo 4

Vamos resolver a inequação |4x^3| < 1 implies |x^3| < 14 para encontrar os valores de |x|^3 < 14 que satisfazem essa condição.
Primeiro, simplificamos a expressão:
|x| < (14)^13 = 1raiz[3]4
Sabemos que , então:
Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados para isolar :

Passo 5

O raio de convergência ( R = 1raiz[3]4 ) é o valor positivo que satisfaz a inequação . Da nossa resolução, vemos que:

Passo 6

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, usamos o raio de convergência. Como a série converge para ( -1raiz[3]4, 1raiz[3]4 ) , o intervalo é:

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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