Determine o intervalo e raio de convergência da seguinte série de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências
. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão ou reconhecer o padrão da série para determinar onde ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série dada é:
Podemos reescrever isso como:
Isso porque
. Agora, a série está na forma de uma série geométrica.
Passo 3
Uma série geométrica tem a forma
, onde
é a razão. A série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja,
.
No nosso caso,
. Então, para que a série converja, precisamos que:
Passo 4
Vamos resolver a inequação
para encontrar os valores de
que satisfazem essa condição.
Primeiro, simplificamos a expressão:
Sabemos que
, então:
Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados para isolar
:
Passo 5
O raio de convergência (
) é o valor positivo que satisfaz a inequação
. Da nossa resolução, vemos que:
Passo 6
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, usamos o raio de convergência. Como a série converge para
, o intervalo é:
Resposta
O intervalo de convergência da série
é
e o raio de convergência é
.