Use a definição de limite para mostrar que
2.0
lim x 1^- 1x-1=-infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite infinito à esquerda, que limxto1^- 1x-1 = -infty. O conteúdo é definição de limite para -infty e vamos precisar usar a lógica “para todo M<0 existe de0 tal que…”

Passo 2

A definição de limxto1^- f(x) = -infty diz: dado qualquer M<0, existe de0 tal que, se 0<1-x, então f(x). Aqui f(x)=1x-1.

Passo 3

Observamos que para x<1 temos x-1=-(1-x), logo 1x-1 = -11-x. Então a condição 1x-1 equivale a
-11-x < M
que, multiplicando por -1 (inverte o sentido da desigualdade), vira
11-x > -M

Passo 4

Para garantir 11-x > -M basta exigir
1-x < 1-M,
já que se u>0 e 1u > A>0 então u<1A. Como -M>0, podemos definir
de
Assim, sempre que 0<1-x teremos 11-x > -M e portanto 1x-1.

Passo 5

Isso mostra que para todo M<0 existe de0 tal que se 0<1-x então 1x-1. Pela definição, concluímos que
limxto1^-1x-1 = -infty

Resposta

Portanto, usando a definição de limite infinito à esquerda, mostramos que limxto1^- tfrac1x-1 = -infty.

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