Resolva cada equação em x :
(a) 2 ln (x)=1
(b) e^2 x+3-7=0
© 2^x-5=3
(d) ln (ln (x))=1
(e) e^-x=5
(f) ln (5-2 x)=-3
(g) ln (x)+ln (x-1)
(h) e^2 x=C e^3 x.

Passo 1

A questão pede para resolver várias equações em que aparecem logaritmos e exponenciais. O conteúdo principal é: propriedades de logaritmos (isolamento de ln(x), soma de ln etc.) e de exponenciais (inversão com ln, mudança de base). Vamos usar que ln e e^x são funções inversas, a lei ln(a)+ln(b)=ln(ab) e que, para constantes, a^x=e^xln(a).

Passo 2

Para equações do tipo aln(x)=b, isolamos ln(x) dividindo por a e, em seguida, aplicamos a exponencial de base e para desfazer o logaritmo. Assim obtemos
ln(x)=baLongrightarrow x=e^b/aAplicando isso em (a):
2ln(x)=1Longrightarrow ln(x)=tfrac12Longrightarrow x=e^1/2

Passo 3

Para equações do tipo e^ax+b=K, isolamos o exponencial e depois tomamos ln em ambos os lados:
e^ax+b=KLongrightarrow ax+b=ln(K)Longrightarrow x=ln(K)-baAplicando em (b):
e^2x+3=7Longrightarrow 2x+3=ln(7)Longrightarrow x=ln(7)-32Aplicando o mesmo em (e), que é e^-x=5:
-x=ln(5)Longrightarrow x=-ln(5)

Passo 4

Para equações do tipo a^x-c=K, usamos a^x-c=e^(x-c)ln(a) e depois tomamos ln:
x-c=ln(K)ln(a)Longrightarrow x=c+ln(K)ln(a)Aplicando em ©:
2^x-5=3Longrightarrow x-5=ln(3)ln(2)Longrightarrow x=5+ln(3)ln(2)

Passo 5

Para equações aninhadas como ln(ln(x))=c, primeiro isolamos ln(x) exponenciando:
ln(ln(x))=1Longrightarrow ln(x)=e^1=eLongrightarrow x=e^e,o que resolve o item (d).

Passo 6

Para equações ln(5-2x)=c, isolamos o ln e exponenciamos:
ln(5-2x)=-3Longrightarrow5-2x=e^-3Longrightarrow x=5-e^-32,lembrando que o argumento do logaritmo exige 5-2x>0, o que dá x<2,5, satisfeita pela solução.

Passo 7

O item (g) está incompleto, pois não há um lado direito da igualdade (não foi dado ), então não é possível resolver sem mais informação.

Passo 8

Por fim, para equações do tipo
e^2x=C,e^3x,dividimos ambos os lados por e^2x e obtemos
1=C,e^xLongrightarrow e^x=1CLongrightarrow x=-ln(C)

Resposta

(a) x=e^1/2
(b) x=tfracln(7)-32
© x=5+tfracln(3)ln(2)
(d) x=e^e
(e) x=-ln(5)
(f) x=tfrac5-e^-32
(g) sem informação suficiente para resolver
(h) x=-ln(C)

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