Para quais valores de a e b a reta 3x + y = b é tangente à parábola y = a x^2 quando x = 3 / 2.
(a) a=-1, b=9/4.
(b) a = 1, b = 9 / 2.
© a = -1, b = -9/4.
(d) a = 1, b = -9 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de e a reta é tangente à parábola no ponto onde . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e parábolas, e a condição de tangência entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta ser tangente à parábola em um ponto específico. Isso quer dizer que as duas curvas se tocam exatamente em um ponto, sem se cruzarem. Para isso acontecer, a equação que resulta da igualdade das duas funções deve ter uma única solução.

Passo 3

Vamos começar igualando as equações da reta e da parábola para encontrar o ponto de tangência:
Substituindo da reta na parábola:
Isso nos dá uma equação quadrática:

Passo 4

Para que a reta seja tangente à parábola, essa equação quadrática deve ter exatamente uma solução. Isso acontece quando o discriminante ( ) é igual a zero. O discriminante é calculado por:
Onde , e . Então:
Para tangência:

Passo 5

Sabemos que o ponto de tangência ocorre em . Vamos usar esse valor para encontrar tanto na parábola quanto na reta.
Na parábola:
Na reta:
Como são o mesmo ponto:
Vamos resolver para :

Passo 6

Agora temos duas equações:
Vamos substituir a segunda na primeira:
Distribuindo :
Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores:
Levando tudo para um lado da equação:
Dividindo por 9:
Isso resulta em:

Passo 7

Com , vamos encontrar usando a equação que obtivemos:

Resposta

A reta é tangente à parábola no ponto quando e . Portanto, a opção correta é a (a) .

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