Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(m) sumn=1^+infty(-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!
Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta da análise matemática utilizada para encontrar o raio de convergência de séries de potências. O Teste da Razão nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o termo geral da série, que é:
an = (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
O objetivo é aplicar o Teste da Razão, que utiliza o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (-1)^(n+1)+1 x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)!(-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)! = (-1)^1 x^2n+1(2n+1)! cdot (2n-1)!x^2n-1 :
Simplificando:
an+1an = - x^2(2n)(2n+1)
Agora, vamos considerar o valor absoluto:
| an+1an | = |x|^2(2n)(2n+1)

Passo 4

Calculamos o limite L = limn to infty |x|^2(2n)(2n+1) = limn to infty |x|^24n^2 + 2n = 0 :
Como o limite é menor que 1 para qualquer valor de , isso significa que a série converge para todo valor real de .

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.

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