Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(y)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência de uma série de potências específica. Vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão para descobrir onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa raio de convergência. O raio de convergência é um número que nos diz até onde a série de potências converge. O Intervalo de Convergência é o intervalo de valores de ao redor desse raio onde a série realmente converge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o termo geral da série:
Queremos simplificar isso para facilitar os cálculos. Note que o numerador é o produto dos primeiros números ímpares, que podemos expressar como:
Então, substituindo na expressão de :
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O Teste da Razão nos diz para calcular o limite: