Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(y) sumn=1^+infty 1.3 5 cdots (2 n-1)(2 n-2)! x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência de uma série de potências específica. Vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão para descobrir onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa raio de convergência. O raio de convergência é um número que nos diz até onde a série de potências converge. O Intervalo de Convergência é o intervalo de valores de ao redor desse raio onde a série realmente converge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o termo geral da série:
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-2)! x^n
Queremos simplificar isso para facilitar os cálculos. Note que o numerador 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = (2n)!2^n n! é o produto dos primeiros an = (2n)!2^n n!(2n-2)! x^n = (2n)!2^n n! (2n-2)! x^n números ímpares, que podemos expressar como:
Então, substituindo na expressão de :

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge.

Passo 5

Calculando an+1an = (2(n+1))!2^n+1 (n+1)! (2(n+1)-2)! x^n+1(2n)!2^n n! (2n-2)! x^n = (2n+2)(2n+1)2(n+1) x :
an+1an = (2n+2)(2n+1)2(n+1) x = (2n+1) x
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite:
L = limn to infty |(2n+1) x| = limn to infty 2n |x| = infty cdot |x|
Para que infty cdot |x| < 1 , precisamos que:
Isso só é possível se .

Passo 7

Portanto, o raio de convergência é 0, o que significa que a série só converge quando .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas .

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