e resolva:
integralgamma cos x d x+(2 y^cos y+x) d y
onde gamma é a reunião da parte de x^2+y^2=4, y <= 0 com o segmento que une o ponto (2,0) a (-2,0), percorridos no sentido anti-horário. (atualização em 23/08/2024)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha:
integralgamma cos x , dx + (2 y^cos y + x) dy
Aqui, é composta pela parte inferior do círculo (onde ) unida ao segmento de reta que vai de a , percorridos no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos usar Teorema de Green, que nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área delimitada por . Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial e derivadas parciais para aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral. A integral está na forma:
integralgamma P , dx + Q , dy
Onde:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que, para um campo vetorial ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA e com componentes contínuas e deriváveis, a integral de linha fechada pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região delimitada por :
Então, nosso objetivo agora é calcular e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada de partial Qpartial x = partialpartial x (2 y^cos y + x ) = 0 + 1 = 1 em relação a partial Ppartial y = partialpartial y ( cos x ) = 0 :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD (1 - 0) dA = integral duplaD 1 , dA
Isso significa que a integral dupla é simplesmente a área da região .

Passo 6

Agora, vamos determinar a área da região Área do círculo = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi . A curva Área da semicircunferência = 4pi2 = 2pi é composta pela parte inferior do círculo e pelo segmento de reta de a . Isso forma uma semicircunferência inferior fechada por uma linha reta na base.
A área de um círculo completo com raio é:
Áí
Como estamos lidando apenas com a metade inferior, a área da semicircunferência é:
Áê
No entanto, a região está limitada pela semicircunferência e pelo segmento de reta na base, formando exatamente a área da semicircunferência. Portanto, a área de é .

Passo 7

Finalmente, aplicando o Teorema de Green:
ointgamma cos x , dx + (2 y^cos y + x) dy = integral duplaD 1 , dA = 2pi

Resposta

A integral de linha é igual a .

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