e resolva:
onde
é a reunião da parte de
com o segmento que une o ponto
a
, percorridos no sentido anti-horário. (atualização em 23/08/2024)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha:
Aqui,
é composta pela parte inferior do círculo
(onde
) unida ao segmento de reta que vai de
a
, percorridos no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos usar Teorema de Green, que nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área delimitada por
. Vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial e derivadas parciais para aplicar o teorema corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à integral. A integral está na forma:
Onde:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que, para um campo vetorial
e
com componentes contínuas e deriváveis, a integral de linha fechada pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Então, nosso objetivo agora é calcular
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Isso significa que a integral dupla é simplesmente a área da região
.
Passo 6
Agora, vamos determinar a área da região
. A curva
é composta pela parte inferior do círculo
e pelo segmento de reta de
a
. Isso forma uma semicircunferência inferior fechada por uma linha reta na base.
A área de um círculo completo com raio
é:
Como estamos lidando apenas com a metade inferior, a área da semicircunferência é:
No entanto, a região
está limitada pela semicircunferência e pelo segmento de reta na base, formando exatamente a área da semicircunferência. Portanto, a área de
é
.
Passo 7
Finalmente, aplicando o Teorema de Green:
Resposta
A integral de linha é igual a
.