Determine um intervalo no qual a solução do problema do valor inical dado certamente existe. y^{\prime}=\frac{t^{2}}{y\left(1+t^{3}\right)}, y(0)=y_{0}.
Queremos aplicar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade): basta encontrar um retângulo em (t,y) contendo (0,y_0) onde f(t,y)=t^2/(y(1+t^3)) é contínua e Lipschitz em y.
Passo 2
Observamos que f falha apenas se y=0 ou 1+t^3=0. Como o ponto inicial é (0,y_0), precisamos de y_0\neq0; e em torno de t=0, basta exigir |t|<1 para garantir 1+t^3\neq0. Assim escolheremos
D = \bigl\{(t,y)\mid |t|\le a<1,\;|y-y_0|\le b<|y_0|\bigr\},
onde f e \partial f/\partial y são contínuas, assegurando existência e unicidade no retângulo.
Passo 3
Para simplificar, fixamos a=\tfrac12 e b=\tfrac{|y_0|}2. Nessas faixas temos