Determine um intervalo no qual a solução do problema do valor inical dado certamente existe.
y^{\prime}=\frac{t^{2}}{y\left(1+t^{3}\right)}, y(0)=y_{0}.

Passo 1

O problema do valor inicial é
y' = \frac{t^2}{y\bigl(1+t^3\bigr)},\quad y(0)=y_0.
Queremos aplicar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade): basta encontrar um retângulo em (t,y) contendo (0,y_0) onde f(t,y)=t^2/(y(1+t^3)) é contínua e Lipschitz em y.

Passo 2

Observamos que f falha apenas se y=0 ou 1+t^3=0. Como o ponto inicial é (0,y_0), precisamos de y_0\neq0; e em torno de t=0, basta exigir |t|<1 para garantir 1+t^3\neq0. Assim escolheremos
D = \bigl\{(t,y)\mid |t|\le a<1,\;|y-y_0|\le b<|y_0|\bigr\},
onde f e \partial f/\partial y são contínuas, assegurando existência e unicidade no retângulo.

Passo 3

Para simplificar, fixamos a=\tfrac12 e b=\tfrac{|y_0|}2. Nessas faixas temos
|t|\le \tfrac12\;\Longrightarrow\;1+t^3\ge1-\bigl(\tfrac12\bigr)^3=\tfrac78, \quad |y|\ge|y_0|-b=\tfrac{|y_0|}2.
Logo, em D,
\bigl|f(t,y)\bigr| =\frac{t^2}{|y|\,(1+t^3)} \le \frac{\,(1/2)^2\,}{\,(|y_0|/2)\,(7/8)\,} =\frac{4}{7\,|y_0|}.
Chamando esse valor de M, temos \sup_D|f|=M.

Passo 4

O Teorema de Picard garante solução em |t|\le h, onde
h = \min\!\Bigl\{a,\;\frac{b}{M}\Bigr\} =\min\!\Bigl\{\tfrac12,\;\frac{|y_0|/2}{4/(7|y_0|)}\Bigr\} =\min\!\Bigl\{\tfrac12,\;\frac{7\,y_0^2}{8}\Bigr\}.

Resposta

A solução existe (e é única) no intervalo
|t|\le h,\quad h=\min\!\Bigl\{\tfrac12,\;\frac{7\,y_0^2}{8}\Bigr\}\subset(-1,1).

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