Esboce f(y) em função de y, ache os pontos de equilíbrio, classifique-os e represente a reta de fase e soluções no plano ty.
y^{\prime}=a y-b \sqrt{y}, a>0, b>0, y_{0} \geq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
y' = f(y) = a\,y - b\sqrt{y},\quad a>0,\;b>0,\;y\ge0.
O conteúdo aqui é análise de sistemas unidimensionais: vamos esboçar f(y), achar pontos de equilíbrio resolvendo f(y)=0, classificá-los pelo sinal de f' e depois representar a reta de fase e o comportamento qualitativo de y(t).

Passo 2

Primeiro escrevemos
f(y)=a\,y - b\sqrt{y}.
O domínio natural é y\ge0. Note que para y\to0^+, \sqrt{y} domina e f(y)\approx -b\sqrt{y}<0, enquanto para y\to+\infty, a\,y domina e f(y)\to+\infty.

Passo 3

Para encontrar os equilíbrios, resolvemos
a\,y - b\sqrt{y} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{y}\,(a\sqrt{y}-b)=0.
Isso dá duas soluções:
\sqrt{y}=0\;\Rightarrow\;y=0, \qquad a\sqrt{y}-b=0\;\Rightarrow\;\sqrt{y}=\frac b a\;\Rightarrow\;y=\Bigl(\frac b a\Bigr)^{2}.

Passo 4

Para classificar cada ponto calculamos
f'(y) = \frac{d}{dy}\bigl(a\,y - b\sqrt{y}\bigr) = a - \frac{b}{2\sqrt{y}}.
Em y=0 temos \displaystyle f'(y)\to -\infty, logo o fluxo à direita de 0 aponta para baixo e y=0 é um ponto atrator (estável).
Em y=\bigl(\tfrac b a\bigr)^{2}
f'\Bigl(\bigl(\tfrac b a\bigr)^{2}\Bigr) = a - \frac{b}{2\,(b/a)} = a - \frac a2 = \frac a2 >0,
logo é um ponto repulsor (instável).

Passo 5

A reta de fase em y\ge0 fica assim:
– Em 0<y<\bigl(\tfrac b a\bigr)^2, f(y)<0 ⇒ setas para baixo.
– Em y>\bigl(\tfrac b a\bigr)^2, f(y)>0 ⇒ setas para cima.
Em y=0 e y=(b/a)^2 marcamos equilíbrios, sendo 0 estável e (b/a)^2 instável.

Passo 6

No plano (t,y) as soluções qualitativas são:
– Se 0<y_0<\bigl(\tfrac b a\bigr)^2, y(t) decai monotonamente e tende a 0 quando t\to+\infty.
– Se y_0=\bigl(\tfrac b a\bigr)^2, y(t)\equiv (b/a)^2.
– Se y_0>\bigl(\tfrac b a\bigr)^2, y(t) cresce eventualmente como y\sim C e^{a t} e tende a +\infty.
– Se y_0=0, y(t)\equiv0.

Resposta

Equilíbrios:
y=0\quad(\text{estável}), \qquad y=\Bigl(\frac b a\Bigr)^{2}\quad(\text{instável}).áá
Reta de fase conforme descrito e curvas y(t) decaindo para 0 se y_0< (b/a)^2 e crescendo para +\infty se y_0> (b/a)^2.

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