Esboce
em função de
, ache os pontos de equilíbrio, classifique-os e represente a reta de fase e soluções no plano ty.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
O conteúdo aqui é análise de sistemas unidimensionais: vamos esboçar
, achar pontos de equilíbrio resolvendo
, classificá-los pelo sinal de
e depois representar a reta de fase e o comportamento qualitativo de
.
Passo 2
Primeiro escrevemos
O domínio natural é
. Note que para
,
domina e
, enquanto para
,
domina e
.
Passo 3
Para encontrar os equilíbrios, resolvemos
Isso dá duas soluções:
Passo 4
Para classificar cada ponto calculamos
Em
temos
, logo o fluxo à direita de
aponta para baixo e
é um ponto atrator (estável).
Em
Em
logo é um ponto repulsor (instável).
Passo 5
A reta de fase em
fica assim:
– Em ,
⇒ setas para baixo.
– Em ,
⇒ setas para cima.
Em e
marcamos equilíbrios, sendo
estável e
instável.
– Em
– Em
Em
Passo 6
No plano
as soluções qualitativas são:
– Se ,
decai monotonamente e tende a
quando
.
– Se ,
.
– Se ,
cresce eventualmente como
e tende a
.
– Se ,
.
– Se
– Se
– Se
– Se
Resposta
Equilíbrios:
Reta de fase conforme descrito e curvas
decaindo para
se
e crescendo para
se
.