Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Coefira suas respostas por diferenciaçio.
\int\left(2 e^{x}-3 e^{-2 x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(2e^x - 3e^{-2x}\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de funções exponenciais, usando a regra
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{ax} + C.

Passo 2

Integramos o primeiro termo separadamente:
\int 2e^x\,dx = 2\int e^x\,dx = 2\,e^x.

Passo 3

Agora o segundo termo:
\int \bigl(-3e^{-2x}\bigr)\,dx = -3\int e^{-2x}\,dx = -3\;\frac{e^{-2x}}{-2} = \frac{3}{2}\,e^{-2x}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int\bigl(2e^x - 3e^{-2x}\bigr)\,dx = 2e^x + \tfrac{3}{2}e^{-2x} + C.

Passo 5

Verificação por diferenciação: seja
F(x) = 2e^x + \tfrac{3}{2}e^{-2x} + C.
Então
F'(x) = 2e^x + \tfrac{3}{2}\cdot(-2)\,e^{-2x} = 2e^x - 3e^{-2x},
que coincide com o integrando.

Resposta

2e^x + \tfrac{3}{2}e^{-2x} + C

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