Mostre que se
é uma solução de
, então
também é solução para qualque valor de
.
Passo 1
O enunciado considera a equação diferencial linear homogênea de primeira ordem
e diz que
é uma solução, isto é,
Queremos mostrar que, para qualquer constante
, a função
também satisfaz a mesma equação. Vamos usar a propriedade de linearidade da derivada e da própria equação homogênea.
Passo 2
Defina
onde
é constante. Como a derivada de uma constante vezes uma função é essa constante vezes a derivada da função, temos
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Pela hipótese de que
é solução,
. Logo
o que mostra que
satisfaz a equação.
Resposta
A função
também é solução de
para todo
.