Mostre que se y=\varphi(t) é uma solução de y^{\prime}+p(t) y=0, então y=y=c \varphi(t) também é solução para qualque valor de c.

Passo 1

O enunciado considera a equação diferencial linear homogênea de primeira ordem
y' + p(t)\,y = 0
e diz que \varphi(t) é uma solução, isto é,
\varphi'(t) + p(t)\,\varphi(t) = 0.
Queremos mostrar que, para qualquer constante c, a função
y(t) = c\,\varphi(t)
também satisfaz a mesma equação. Vamos usar a propriedade de linearidade da derivada e da própria equação homogênea.

Passo 2

Defina
Y(t) = c\,\varphi(t),
onde c é constante. Como a derivada de uma constante vezes uma função é essa constante vezes a derivada da função, temos
Y'(t) = c\,\varphi'(t).

Passo 3

Substituindo Y e Y' na equação original:
Y'(t) + p(t)\,Y(t) = c\,\varphi'(t) + p(t)\,\bigl(c\,\varphi(t)\bigr) = c\bigl(\varphi'(t) + p(t)\,\varphi(t)\bigr).
Pela hipótese de que \varphi(t) é solução, \varphi'(t)+p(t)\,\varphi(t)=0. Logo
Y'(t) + p(t)\,Y(t) = c\cdot 0 = 0,
o que mostra que Y(t) satisfaz a equação.

Resposta

A função y(t)=c\,\varphi(t) também é solução de y'+p(t)\,y=0 para todo c\in\mathbb{R}.

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