Determine os intervalos de concavidade para cima e concavidade para baixo e os pontos de inflexão da função
f(x)=x^{3}-9 x^{2}+15 x-6

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x-6
e pede:
  • determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima;
  • determinar os intervalos onde a função tem concavidade para baixo;
  • encontrar os pontos de inflexão.
Informações relevantes dadas: a expressão de f(x) (polinômio de grau 3). Não há outras restrições ou dados externos.

Passo 2

Conceitos e teste que vamos usar (explicação didática e exemplos simples):
  • Concavidade: se a curva de f “abre para cima” em um intervalo dizemos que f é côncava para cima ali; se “abre para baixo”, é côncava para baixo.
  • Teste com segunda derivada: para uma função duas vezes diferenciável, vale:
    • se f''(x)>0 em um intervalo então f é côncava para cima nesse intervalo;
    • se f''(x)<0 em um intervalo então f é côncava para baixo nesse intervalo;
    • um ponto x_0 onde f''(x_0)=0 (ou f'' não está definida) é candidato a ponto de inflexão; é efetivamente ponto de inflexão se o sinal de f'' muda ao atravessá-lo.
Breve exemplo para fixar:
  • Para g(x)=x^{2} temos \,g''(x)=2>0 para todo x, logo g é côncava para cima em (-\infty,\infty).
  • Para h(x)=-x^{2} temos \,h''(x)=-2<0 para todo x, logo h é côncava para baixo em (-\infty,\infty).
Agora aplicamos esse teste à função dada.

Passo 3

Calculando as derivadas passo a passo (uso da regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
Primeira derivada:
f'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-9\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+15\dfrac{d}{dx}(x)-\dfrac{d}{dx}(6).
Aplicando a regra do poder e a linearidade:
f'(x)=3x^{2}-9\cdot 2x+15\cdot 1-0.
f'(x)=3x^{2}-18x+15.
Segunda derivada:
f''(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)-18\dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dx}(15).
f''(x)=3\cdot 2x-18\cdot 1+0.
f''(x)=6x-18.

Passo 4

Encontrar pontos candidatos a inflexão: resolvemos f''(x)=0.
6x-18=0.
Isolando x:
6x=18 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Como f é polinomial, f'' está definida para todo x, então o único candidato é x=3.

Passo 5

Analisar o sinal de f''(x)=6x-18 nos intervalos determinados por x=3.
Fatorando:
f''(x)=6(x-3).
  • Para x<3 temos x-3<0, então f''(x)=6(x-3)<0. Portanto f é côncava para baixo em (-\infty,3).
  • Para x>3 temos x-3>0, então f''(x)=6(x-3)>0. Portanto f é côncava para cima em (3,\infty).
Isso mostra que o sinal de f'' troca de negativo para positivo ao passar por x=3, então x=3 é realmente um ponto de inflexão.

Passo 6

Calcular a ordenada do ponto de inflexão (substituir x=3 em f):
f(3)=3^{3}-9\cdot 3^{2}+15\cdot 3-6.
Calculemos etapa a etapa:
3^{3}=27,\qquad 9\cdot 3^{2}=9\cdot 9=81,\qquad 15\cdot 3=45.
Logo
f(3)=27-81+45-6.
Somando/subtraindo na ordem:
27-81=-54,\quad -54+45=-9,\quad -9-6=-15.
Portanto o ponto de inflexão é (3,-15).

Resposta

Concavidade para cima: (3,\infty)
Concavidade para baixo: (-\infty,3)
Ponto de inflexão: (3,-15)

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