Determine os intervalos de concavidade para cima e concavidade para baixo e os pontos de inflexão da função
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede:
- determinar os intervalos onde a função tem concavidade para cima;
- determinar os intervalos onde a função tem concavidade para baixo;
- encontrar os pontos de inflexão.
Informações relevantes dadas: a expressão de
(polinômio de grau 3). Não há outras restrições ou dados externos.
Passo 2
Conceitos e teste que vamos usar (explicação didática e exemplos simples):
- Concavidade: se a curva de
“abre para cima” em um intervalo dizemos que é côncava para cima ali; se “abre para baixo”, é côncava para baixo. - Teste com segunda derivada: para uma função duas vezes diferenciável, vale:
- se
em um intervalo então é côncava para cima nesse intervalo; - se
em um intervalo então é côncava para baixo nesse intervalo; - um ponto
onde (ou não está definida) é candidato a ponto de inflexão; é efetivamente ponto de inflexão se o sinal de muda ao atravessá-lo.
- se
Breve exemplo para fixar:
- Para
temos para todo , logo é côncava para cima em . - Para
temos para todo , logo é côncava para baixo em .
Agora aplicamos esse teste à função dada.
Passo 3
Calculando as derivadas passo a passo (uso da regra do poder:
).
Primeira derivada:
Aplicando a regra do poder e a linearidade:
Segunda derivada:
Passo 4
Encontrar pontos candidatos a inflexão: resolvemos
.
Isolando
:
Como
é polinomial,
está definida para todo
, então o único candidato é
.
Passo 5
Analisar o sinal de
nos intervalos determinados por
.
Fatorando:
- Para
temos , então . Portanto é côncava para baixo em . - Para
temos , então . Portanto é côncava para cima em .
Isso mostra que o sinal de
troca de negativo para positivo ao passar por
, então
é realmente um ponto de inflexão.
Passo 6
Calcular a ordenada do ponto de inflexão (substituir
em
):
Calculemos etapa a etapa:
Logo
Somando/subtraindo na ordem:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Resposta
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Ponto de inflexão:
Concavidade para baixo:
Ponto de inflexão: