Calcule as integrais indefinidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos: a variável de integração é
e a expressão é uma função racional (um polinômio dividido por
). Note que
porque aparece
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a fração usando a propriedade distributiva da divisão:
Agora simplifico cada termo:
logo a integranda fica
Passo 3
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e escalares saem da integral. Assim
Passo 4
Relembrando as regras básicas de antiderivação que vamos aplicar:
- Regra da potência: para
,
onde
é a constante de integração.
- Caso especial
: e
A barra de valor absoluto em
aparece porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, e a derivada de
é
tanto para
quanto para
.
Passo 5
Agora aplico as regras termo a termo:
Juntando (somando as constantes numa única constante
) obtemos
Passo 6
Verificação rápida (boa prática para prova): diferencio o resultado para confirmar que volto à integranda. Derivando
que é exatamente a forma simplificada da integranda. Portanto está correto.