Calcule as integrais indefinidas.
\int \frac{x^{2}-x+1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-x+1}{x}\,dx.
Informações relevantes que temos: a variável de integração é x e a expressão é uma função racional (um polinômio dividido por x). Note que x\neq0 porque aparece \dfrac{1}{x}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a fração usando a propriedade distributiva da divisão:
\frac{x^{2}-x+1}{x}=\frac{x^{2}}{x}-\frac{x}{x}+\frac{1}{x}.
Agora simplifico cada termo:
\frac{x^{2}}{x}=x,\qquad \frac{x}{x}=1,
logo a integranda fica
x-1+\frac{1}{x}.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e escalares saem da integral. Assim
\int \frac{x^{2}-x+1}{x}\,dx=\int\left(x-1+\frac{1}{x}\right)\,dx =\int x\,dx-\int 1\,dx+\int \frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Relembrando as regras básicas de antiderivação que vamos aplicar:
  • Regra da potência: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
  • Caso especial n=-1: x^{-1}=\dfrac{1}{x} e
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
A barra de valor absoluto em \ln|x| aparece porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, e a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} tanto para x>0 quanto para x<0.

Passo 5

Agora aplico as regras termo a termo:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{1},
\int 1\,dx=x+C_{2},
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C_{3}.
Juntando (somando as constantes numa única constante C) obtemos
\int \frac{x^{2}-x+1}{x}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-x+\ln|x|+C.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para prova): diferencio o resultado para confirmar que volto à integranda. Derivando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}-x+\ln|x|\right)=x-1+\frac{1}{x},
que é exatamente a forma simplificada da integranda. Portanto está correto.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-x+\ln|x|+C

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