Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de máximo em mínimo local e esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Determinar os intervalos de crescimento (onde a função cresce) e de decrescimento (onde a função decresce).
- Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
- Fazer um esboço do gráfico (isto é, identificar os pontos-chave e descrever como ligar tudo para desenhar).
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
- A função é um polinômio cúbico (coeficiente líder negativo).
- Para estudar crescimento/decrescimento e extremos locais precisaremos das derivadas e dos pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe — aqui ela existe em toda parte).
- Para esboçar: será útil também saber interceptos, comportamento para
e pontos de inflexão.
Passo 2
Conceito rápido e cálculo da derivada (aula rápida): a derivada
dá a inclinação da reta tangente à curva em cada
. Onde
a função está crescendo; onde
a função está decrescendo. Para um polinômio, a derivada é obtida aplicando a regra potência: se
, então
.
Calculemos
e a segunda derivada
(esta última serve para estudar concavidade e às vezes classificar extremos):
Aplicando a regra potência termo a termo:
E a segunda derivada:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos (onde
) — esses são candidatos a máximos ou mínimos locais:
Igualando zero:
Então os pontos críticos são em
e
. Para saber as alturas, calculamos
nesses pontos:
Passo 4
Estudo do sinal de
(teste da derivada) — método prático para decidir crescimento/decrescimento:
- Observe a fatoração
. O sinal muda somente em e . - Teste um valor em cada intervalo:
- Para
, por exemplo :
Logo
em
.
- Para
, por exemplo :
Logo
em
.
- Para
, por exemplo :
Logo
em
.
Portanto, monotonicidade:
- Decrescente em
. - Crescente em
. - Decrescente em
.
Explicação intuitiva: quando
muda de negativo para positivo em um ponto crítico temos um mínimo local; quando muda de positivo para negativo temos um máximo local.
Passo 5
Classificação dos extremos (usando o teste da derivada e conferindo com a segunda derivada):
- Em
: muda de negativo para positivo (veja passo anterior). Isso indica um mínimo local. Conferindo com a segunda derivada:
o que confirma concavidade para cima e portanto mínimo local em
. Coordenada do ponto:
.
- Em
: muda de positivo para negativo (veja passo anterior). Isso indica um máximo local. A segunda derivada dá
observação: cuidado — recalculei e vi que
, o que é negativo; isso confirma concavidade para baixo e portanto máximo local em
. (Nota: anteriormente mencionei situação
— isso foi um lapso; o cálculo correto é
.) Coordenada do ponto:
.
Resumo: mínimo local em
; máximo local em
.
Passo 6
Concavidade e ponto de inflexão (ajuda no esboço): resolvemos
:
Então
é ponto de inflexão. Valor:
Concavidade:
- Para
, então (concavidade para cima). - Para
, (concavidade para baixo).
Portanto há mudança de concavidade em
.
Passo 7
Interceptos e comportamento nas extremidades (importante para o esboço):
- Intercepto em
: — já usado. - Interceptos em
: resolver . Reescrevendo . Há exatamente uma raiz real (porque o sinal do termo cúbico leva a +infinito quando e a quando , e os valores mostrados indicam apenas uma mudança de sinal). Aproximando numericamente (método de Newton ou tentativa e erro rápido) obtém-se
(essa é a abscissa onde a curva corta o eixo
). Portanto a curva cruza o eixo
em
.
- Comportamento nas extremidades:
Passo 8
Como esboçar o gráfico – instruções práticas passo a passo (para você fazer à mão na prova):
- Marque os pontos chave:
(mínimo local), (ponto de inflexão), (máximo local) e o zero aproximado . - Observe monotonicidade:
- Para
: a função decresce vindo de (quando ) até o ponto . - De
a : a função cresce, passando pelo ponto de inflexão em e atingindo o máximo em . - Para
: a função decresce e tende a quando , cruzando o eixo perto de .
- Para
- Use a concavidade para traçar as curvas: antes de
concavidade para cima (curva “abrindo para cima”), depois de concavidade para baixo. - Ligue suavemente os pontos respeitando as tendências acima; o resultado é uma típica cúbica com coeficiente líder negativo: sobe à esquerda, tem um vale em
, sobe até o pico em e depois desce indefinidamente.
Dica final de desenho: trace primeiro o eixo
e
, marque os pontos numéricos (0, 1, 2 e cerca de 3,35 no eixo
), coloque as alturas
no eixo
, e faça o traço com atenção à concavidade.
Resposta
Intervalos de crescimento:
.
Intervalos de decrescimento: .
Intervalos de decrescimento:
Ponto de mínimo local:
.
Ponto de máximo local: .
Ponto de máximo local:
Esboço (descrição): cúbica com coeficiente líder negativo; vem de
por
, decresce até
, cresce até
passando por ponto de inflexão
, cruza o eixo
em
e vai para
quando
.