Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de máximo em mínimo local e esboce o gráfico da função
f(x)=-x^{3}+3 x^{2}+4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=-x^{3}+3x^{2}+4
e pede três coisas:
  • Determinar os intervalos de crescimento (onde a função cresce) e de decrescimento (onde a função decresce).
  • Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
  • Fazer um esboço do gráfico (isto é, identificar os pontos-chave e descrever como ligar tudo para desenhar).
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • A função é um polinômio cúbico (coeficiente líder negativo).
  • Para estudar crescimento/decrescimento e extremos locais precisaremos das derivadas e dos pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe — aqui ela existe em toda parte).
  • Para esboçar: será útil também saber interceptos, comportamento para x\to\pm\infty e pontos de inflexão.

Passo 2

Conceito rápido e cálculo da derivada (aula rápida): a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente à curva em cada x. Onde f'(x)>0 a função está crescendo; onde f'(x)<0 a função está decrescendo. Para um polinômio, a derivada é obtida aplicando a regra potência: se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n x^{n-1}.
Calculemos f'(x) e a segunda derivada f''(x) (esta última serve para estudar concavidade e às vezes classificar extremos):
f(x)=-x^{3}+3x^{2}+4
Aplicando a regra potência termo a termo:
f'(x) = -3x^{2} + 6x.
E a segunda derivada:
f''(x) = -6x + 6 = -6(x-1).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0) — esses são candidatos a máximos ou mínimos locais:
f'(x) = -3x^{2}+6x = -3x(x-2).
Igualando zero:
-3x(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Então os pontos críticos são em x=0 e x=2. Para saber as alturas, calculamos f nesses pontos:
f(0)=4,\qquad f(2)= -8 + 12 + 4 = 8.

Passo 4

Estudo do sinal de f'(x) (teste da derivada) — método prático para decidir crescimento/decrescimento:
  • Observe a fatoração f'(x)=-3x(x-2). O sinal muda somente em x=0 e x=2.
  • Teste um valor em cada intervalo:
  1. Para x<0, por exemplo x=-1:
f'(-1) = -3(-1)((-1)-2) = -3(-1)(-3) = -3\cdot 3 = -9 <0.
Logo f'(x)<0 em (-\infty,0).
  1. Para 0<x<2, por exemplo x=1:
f'(1) = -3(1)(1-2) = -3(1)(-1)= +3 >0.
Logo f'(x)>0 em (0,2).
  1. Para x>2, por exemplo x=3:
f'(3) = -3(3)(3-2) = -3\cdot3\cdot1 = -9 <0.
Logo f'(x)<0 em (2,\infty).
Portanto, monotonicidade:
  • Decrescente em (-\infty,0).
  • Crescente em (0,2).
  • Decrescente em (2,\infty).
Explicação intuitiva: quando f' muda de negativo para positivo em um ponto crítico temos um mínimo local; quando muda de positivo para negativo temos um máximo local.

Passo 5

Classificação dos extremos (usando o teste da derivada e conferindo com a segunda derivada):
  • Em x=0: f' muda de negativo para positivo (veja passo anterior). Isso indica um mínimo local. Conferindo com a segunda derivada:
f''(0) = -6(0-1) = 6 >0,
o que confirma concavidade para cima e portanto mínimo local em x=0. Coordenada do ponto: (0,4).
  • Em x=2: f' muda de positivo para negativo (veja passo anterior). Isso indica um máximo local. A segunda derivada dá
f''(2) = -6(2-1) = -6\cdot1 = -6,
observação: cuidado — recalculei e vi que f''(2)=-6, o que é negativo; isso confirma concavidade para baixo e portanto máximo local em x=2. (Nota: anteriormente mencionei situação f''(2)=0 — isso foi um lapso; o cálculo correto é f''(2)=-6.) Coordenada do ponto: (2,8).
Resumo: mínimo local em (0,4); máximo local em (2,8).

Passo 6

Concavidade e ponto de inflexão (ajuda no esboço): resolvemos f''(x)=0:
f''(x) = -6(x-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Então x=1 é ponto de inflexão. Valor:
f(1) = -1 + 3 + 4 = 6.
Concavidade:
  • Para x<1, x-1<0 então f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Para x>1, f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Portanto há mudança de concavidade em (1,6).

Passo 7

Interceptos e comportamento nas extremidades (importante para o esboço):
  • Intercepto em y: f(0)=4 — já usado.
  • Interceptos em x: resolver -x^{3}+3x^{2}+4=0. Reescrevendo x^{3}-3x^{2}-4=0. Há exatamente uma raiz real (porque o sinal do termo cúbico leva a +infinito quando x\to-\infty e a -\infty quando x\to+\infty, e os valores mostrados indicam apenas uma mudança de sinal). Aproximando numericamente (método de Newton ou tentativa e erro rápido) obtém-se
x\approx 3,3547
(essa é a abscissa onde a curva corta o eixo x). Portanto a curva cruza o eixo x em x\approx 3,3547.
  • Comportamento nas extremidades:
\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty\quad\text{(porque o termo }-x^3\text{ domina)},
\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty.

Passo 8

Como esboçar o gráfico – instruções práticas passo a passo (para você fazer à mão na prova):
  1. Marque os pontos chave: (0,4) (mínimo local), (1,6) (ponto de inflexão), (2,8) (máximo local) e o zero aproximado (3,3547,0).
  2. Observe monotonicidade:
    • Para x<0: a função decresce vindo de +\infty (quando x\to-\infty) até o ponto (0,4).
    • De 0 a 2: a função cresce, passando pelo ponto de inflexão em x=1 e atingindo o máximo em (2,8).
    • Para x>2: a função decresce e tende a -\infty quando x\to+\infty, cruzando o eixo x perto de x\approx3,3547.
  3. Use a concavidade para traçar as curvas: antes de x=1 concavidade para cima (curva “abrindo para cima”), depois de x=1 concavidade para baixo.
  4. Ligue suavemente os pontos respeitando as tendências acima; o resultado é uma típica cúbica com coeficiente líder negativo: sobe à esquerda, tem um vale em x=0, sobe até o pico em x=2 e depois desce indefinidamente.
Dica final de desenho: trace primeiro o eixo x e y, marque os pontos numéricos (0, 1, 2 e cerca de 3,35 no eixo x), coloque as alturas 4,6,8 no eixo y, e faça o traço com atenção à concavidade.

Resposta

Intervalos de crescimento: (0,2).
Intervalos de decrescimento: (-\infty,0)\cup(2,\infty).
Ponto de mínimo local: (0,4).
Ponto de máximo local: (2,8).
Esboço (descrição): cúbica com coeficiente líder negativo; vem de +\infty por x\to-\infty, decresce até (0,4), cresce até (2,8) passando por ponto de inflexão (1,6), cruza o eixo x em x\approx 3,3547 e vai para -\infty quando x\to+\infty.

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