Determine os intervalos que contêm as raízes da função f(x)=x³-9x+3:
A.[0,1], [3,5]
B.[-5,-3], [2,3] e [4,5]
C.[-4,-3], [0,1] e [2,3]
D.[0,1] e [2,3]
E.[-5,-3], [0,1] e [4,5]
A.[0,1], [3,5]
B.[-5,-3], [2,3] e [4,5]
C.[-4,-3], [0,1] e [2,3]
D.[0,1] e [2,3]
E.[-5,-3], [0,1] e [4,5]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir em quais intervalos a função $ f(x) = x^3 - 9x + 3 $ tem raízes. Basicamente, precisamos encontrar os valores de $ x $ onde essa função cruza o eixo $ x $. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a identificar intervalos onde a função muda de sinal, indicando que uma raiz está presente nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função contínua $ f $ tem valores de sinais opostos em dois pontos $ a $ e $ b $, ou seja, $ f(a) $ e $ f(b) $ têm sinais diferentes (um positivo e outro negativo), então existe pelo menos uma raiz entre $ a $ e $ b $.
Passo 3
Vamos calcular os valores da função $ f(x) $ nos extremos dos intervalos fornecidos nas opções para ver onde ocorre a mudança de sinal.
Passo 4
Vamos começar com a Opção A: [0,1] e [3,5].
-
Para [0,1]:
- $ f(0) = 0^3 - 9(0) + 3 = 3 $
- $ f(1) = 1^3 - 9(1) + 3 = 1 - 9 + 3 = -5 $
O sinal mudou de positivo para negativo, então há uma raiz nesse intervalo. -
Para [3,5]:
- $ f(3) = 3^3 - 9(3) + 3 = 27 - 27 + 3 = 3 $
- $ f(5) = 5^3 - 9(5) + 3 = 125 - 45 + 3 = 83 $
O sinal não mudou (ambos positivos), então não há raiz nesse intervalo.
Passo 5
Agora, a Opção B: [-5,-3], [2,3] e [4,5].
-
Para [-5,-3]:
- $ f(-5) = (-5)^3 - 9(-5) + 3 = -125 + 45 + 3 = -77 $
- $ f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 3 = -27 + 27 + 3 = 3 $
Sinal mudou de negativo para positivo, então há uma raiz aqui. -
Para [2,3]:
- $ f(2) = 2^3 - 9(2) + 3 = 8 - 18 + 3 = -7 $
- $ f(3) = 3^3 - 9(3) + 3 = 27 - 27 + 3 = 3 $
Sinal mudou de negativo para positivo, há uma raiz nesse intervalo. -
Para [4,5]:
- $ f(4) = 4^3 - 9(4) + 3 = 64 - 36 + 3 = 31 $
- $ f(5) = 5^3 - 9(5) + 3 = 125 - 45 + 3 = 83 $
Sinal não mudou, então não há raiz nesse intervalo.
Passo 6
Vamos verificar a Opção C: [-4,-3], [0,1] e [2,3].
-
Para [-4,-3]:
- $ f(-4) = (-4)^3 - 9(-4) + 3 = -64 + 36 + 3 = -25 $
- $ f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 3 = -27 + 27 + 3 = 3 $
Sinal mudou, há uma raiz. -
Para [0,1]: Já vimos que há uma raiz.
-
Para [2,3]: Também já vimos que há uma raiz.
Passo 7
Agora, a Opção D: [0,1] e [2,3].
- Para [0,1]: Há uma raiz.
- Para [2,3]: Há uma raiz.
Passo 8
Por fim, a Opção E: [-5,-3], [0,1] e [4,5].
- Para [-5,-3]: Há uma raiz.
- Para [0,1]: Há uma raiz.
- Para [4,5]: Não há raiz.
Passo 9
Analisando todas as opções, percebemos que a Opção C e a Opção E incluem intervalos onde há raízes, mas também acrescentam intervalos extras que não contêm raízes. A Opção D foca apenas nos intervalos que realmente têm raízes, sem adicionar intervalos desnecessários.
Resposta
A resposta correta é a Opção D: [0,1] e [2,3].